Mostrar que um inteiro p é primo se, e somente se, \sigma(p)=p+1.

Passo 1

O que o enunciado pede: provar a equivalência lógica "um inteiro p é primo se, e somente se, \sigma(p)=p+1". Ou seja, devemos mostrar duas implicações:
  1. Se p é primo então \sigma(p)=p+1.
  2. Se \sigma(p)=p+1 então p é primo.
Informações dadas / definições que vamos usar (tudo que aparece abaixo foi dado pelo enunciado ou é definição):
  • \sigma(n) denota a soma dos divisores positivos de n. Ex.: se n=6, os divisores positivos são 1,2,3,6 e \sigma(6)=1+2+3+6=12.
  • Um inteiro p é primo quando p>1 e os únicos divisores positivos de p são 1 e p (não há divisor d com 1<d<p).
  • Vamos assumir que p é um inteiro natural com p\ge2, porque 1 não é primo e a propriedade com \sigma tem comportamento trivial para 1.

Passo 2

Prova da implicação direta: se p é primo então \sigma(p)=p+1.
Explicação didática: pela definição de primo, os divisores positivos de p são exatamente 1 e p. A função \sigma soma todos os divisores positivos. Logo, para um primo p a soma desses divisores é simplesmente a soma de 1 e p. Em notação:
\text{Se \(p\) primo, então os divisores de \(p\) são }1\text{ e }p,ãã
\text{portanto }\sigma(p)=1+p=p+1.
Isso prova a primeira implicação. Exemplo concreto para fixar a ideia: se p=7 (primo), os divisores são 1 e 7 e \sigma(7)=1+7=8.

Passo 3

Preparação para a implicação recíproca: vamos mostrar que se \sigma(p)=p+1 então não pode existir divisor d de p com 1<d<p. A ideia é usar uma demonstração por contradição simples: assumir que existe tal divisor e ver que a soma dos divisores ficaria estritamente maior que p+1.
Antes de executar, recapitule: se p fosse composto, existe um divisor q com 1<q<p. Esse q aparece na soma \sigma(p) e portanto contribui com pelo menos 2 (porque q\ge2), o que aumenta a soma além de 1+p.

Passo 4

Prova da implicação recíproca: se \sigma(p)=p+1 então p é primo.
Argumento passo a passo e bem mastigado:
  • Suponha, para chegar a contradição, que p não é primo. Então p é composto, o que significa que existe um divisor inteiro q tal que 1<q<p e q\mid p.
  • Pelo fato de q ser divisor de p, o número q aparece na lista de divisores positivos de p e, portanto, contribui para \sigma(p).
  • Assim temos, necessariamente,
\sigma(p)\ge 1 + q + p,
porque a soma dos divisores contém pelo menos 1, q e p.
  • Como q\ge2 (já que q>1), obtemos
\sigma(p)\ge 1 + p + q \ge 1 + p + 2 = p+3 > p+1.
  • Logo, se p fosse composto, \sigma(p) seria estritamente maior do que p+1. Mas isso contradiz a hipótese \sigma(p)=p+1.
  • Portanto a suposição de que p é composto é falsa, e concluímos que p deve ser primo.
Observação pedagógica: não foi necessário distinguir se p é quadrado perfeito ou não; basta perceber que qualquer divisor q com 1<q<p adiciona um termo positivo à soma, forçando \sigma(p) a ultrapassar p+1. Exemplo: p=9 (composto), divisores 1,3,9 e \sigma(9)=1+3+9=13>10=p+1.

Passo 5

Conclusão final e reforço da intuição:
  • Direção (→): se p primo então \sigma(p)=1+p porque só há dois divisores.
  • Direção (←): se \sigma(p)=1+p então não pode haver nenhum divisor além de 1 e p; caso contrário a soma seria maior que p+1. Logo p é primo.
Isso fecha a prova da equivalência pedida.

Resposta

p é primo \iff \sigma(p)=p+1

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