Mostrar que um inteiro
é primo se, e somente se,
.
Passo 1
O que o enunciado pede: provar a equivalência lógica "um inteiro
é primo se, e somente se,
". Ou seja, devemos mostrar duas implicações:
- Se
é primo então . - Se
então é primo.
Informações dadas / definições que vamos usar (tudo que aparece abaixo foi dado pelo enunciado ou é definição):
-
denota a soma dos divisores positivos de . Ex.: se , os divisores positivos são e . - Um inteiro
é primo quando e os únicos divisores positivos de são e (não há divisor com ). - Vamos assumir que
é um inteiro natural com , porque não é primo e a propriedade com tem comportamento trivial para .
Passo 2
Prova da implicação direta: se
é primo então
.
Explicação didática: pela definição de primo, os divisores positivos de
são exatamente
e
. A função
soma todos os divisores positivos. Logo, para um primo
a soma desses divisores é simplesmente a soma de
e
. Em notação:
Isso prova a primeira implicação. Exemplo concreto para fixar a ideia: se
(primo), os divisores são
e
e
.
Passo 3
Preparação para a implicação recíproca: vamos mostrar que se
então não pode existir divisor
de
com
. A ideia é usar uma demonstração por contradição simples: assumir que existe tal divisor e ver que a soma dos divisores ficaria estritamente maior que
.
Antes de executar, recapitule: se
fosse composto, existe um divisor
com
. Esse
aparece na soma
e portanto contribui com pelo menos
(porque
), o que aumenta a soma além de
.
Passo 4
Prova da implicação recíproca: se
então
é primo.
Argumento passo a passo e bem mastigado:
- Suponha, para chegar a contradição, que
não é primo. Então é composto, o que significa que existe um divisor inteiro tal que e . - Pelo fato de
ser divisor de , o número aparece na lista de divisores positivos de e, portanto, contribui para . - Assim temos, necessariamente,
porque a soma dos divisores contém pelo menos
,
e
.
- Como
(já que ), obtemos
- Logo, se
fosse composto, seria estritamente maior do que . Mas isso contradiz a hipótese . - Portanto a suposição de que
é composto é falsa, e concluímos que deve ser primo.
Observação pedagógica: não foi necessário distinguir se
é quadrado perfeito ou não; basta perceber que qualquer divisor
com
adiciona um termo positivo à soma, forçando
a ultrapassar
. Exemplo:
(composto), divisores
e
.
Passo 5
Conclusão final e reforço da intuição:
- Direção (→): se
primo então porque só há dois divisores. - Direção (←): se
então não pode haver nenhum divisor além de e ; caso contrário a soma seria maior que . Logo é primo.
Isso fecha a prova da equivalência pedida.