Mostre que se f é multiplicativa, então \mathrm{f}(1)=1.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que, se f é multiplicativa, então f(1)=1.
Informações dadas (definição usada aqui): a função f satisfaz a propriedade multiplicativa
f(ab)=f(a)\,f(b)
para todos os elementos a,b do domínio considerado (por exemplo, todos os inteiros positivos). Não foram dadas outras hipóteses (como f ser não nula), então tudo o que vem a seguir parte apenas dessa definição.

Passo 2

Aplicar a propriedade multiplicativa com a=1 e b=1. Substituindo na igualdade obtemos
f(1\cdot 1)=f(1)f(1).
Como 1\cdot 1=1, isso vira
f(1)=f(1)^2.

Passo 3

Interpretar a igualdade f(1)=f(1)^2. Escrevendo de forma algébrica:
f(1)^2-f(1)=0 \quad\Longrightarrow\quad f(1)\bigl(f(1)-1\bigr)=0.
Portanto f(1) é raiz do polinômio x(x-1), logo só pode valer 0 ou 1. Concluímos
f(1)\in\{0,1\}.

Passo 4

Agora usar a propriedade multiplicativa com um a arbitrário e b=1. Temos
f(a\cdot 1)=f(a)f(1).
Como a\cdot 1=a, isso dá
f(a)=f(a)f(1).
Reescrevendo,
f(a)\bigl(1-f(1)\bigr)=0
para todo a do domínio.

Passo 5

Analisar as duas possibilidades obtidas para f(1):
  • Se f(1)=1, então a igualdade do Passo 4 é satisfeita para todos a e estamos feitos: f(1)=1.
  • Se f(1)=0, então da igualdade f(a)(1-f(1))=0 segue f(a)\cdot 1=0, ou seja, f(a)=0 para todo a. Isto significa que f é a função identicamente zero.
Portanto, a única alternativas consistentes com multiplicatividade são: ou f é identicamente zero (e aí f(1)=0), ou f não é identicamente zero e então necessariamente f(1)=1.

Passo 6

Interpretação final e comentário didático rápido: muitas vezes, em teoria dos números, ao falar “função multiplicativa” já se exige a condição adicional f\not\equiv 0 ou se inclui f(1)=1 na própria definição para evitar a função zero trivial. O argumento acima mostra por que essa exigência é natural: a propriedade f(ab)=f(a)f(b) força f(1) a ser 0 ou 1; excluir o caso trivial f\equiv0 deixa f(1)=1.
Força aí — você já tem a prova completa e curta; é um daqueles resultados que caem fácil na prova quando lembrar de testar a=1 e b=1! 😃

Resposta

Se f é multiplicativa e f\not\equiv0, então f(1)=1.
Se f\equiv0, então f(1)=0.

Exercícios relacionados