Mostre que se f é multiplicativa, então
.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que, se
é multiplicativa, então
.
Informações dadas (definição usada aqui): a função
satisfaz a propriedade multiplicativa
para todos os elementos
do domínio considerado (por exemplo, todos os inteiros positivos). Não foram dadas outras hipóteses (como
ser não nula), então tudo o que vem a seguir parte apenas dessa definição.
Passo 2
Aplicar a propriedade multiplicativa com
e
. Substituindo na igualdade obtemos
Como
, isso vira
Passo 3
Interpretar a igualdade
. Escrevendo de forma algébrica:
Portanto
é raiz do polinômio
, logo só pode valer
ou
. Concluímos
Passo 4
Agora usar a propriedade multiplicativa com um
arbitrário e
. Temos
Como
, isso dá
Reescrevendo,
para todo
do domínio.
Passo 5
Analisar as duas possibilidades obtidas para
:
-
Se
, então a igualdade do Passo 4 é satisfeita para todos e estamos feitos: . -
Se
, então da igualdade segue , ou seja, para todo . Isto significa que é a função identicamente zero.
Portanto, a única alternativas consistentes com multiplicatividade são: ou
é identicamente zero (e aí
), ou
não é identicamente zero e então necessariamente
.
Passo 6
Interpretação final e comentário didático rápido: muitas vezes, em teoria dos números, ao falar “função multiplicativa” já se exige a condição adicional
ou se inclui
na própria definição para evitar a função zero trivial. O argumento acima mostra por que essa exigência é natural: a propriedade
força
a ser
ou
; excluir o caso trivial
deixa
.
Força aí — você já tem a prova completa e curta; é um daqueles resultados que caem fácil na prova quando lembrar de testar
e
! 😃
Resposta
Se
é multiplicativa e
, então
.
Se , então
.
Se