Mostre que \varphi(m) é par se m>2.

Passo 1

O enunciado pede: mostrar que \varphi(m) é par sempre que m>2.
Informações dadas (definição que usaremos): \varphi(m) é a função totiente de Euler, isto é, o número de inteiros a tais que 1\le a\le m e \gcd(a,m)=1. Não precisamos de nenhuma outra informação externa ao enunciado.

Passo 2

Ideia principal (explicada de forma simples): vou emparelhar cada inteiro a com (m-a). Para que esse emparelhamento seja válido para contar os elementos coprimos a m, preciso verificar duas coisas:
  1. se \gcd(a,m)=1 então \gcd(m-a,m)=1 (ou seja, m-a também é coprimo a m);
  2. para m>2 não acontece de a ser congruente a m-a módulo m (ou seja, o par \{a,m-a\} tem sempre dois elementos distintos).
    Se as duas coisas forem verdadeiras, então os números coprimos a m se organizam em pares de elementos distintos, logo o total \varphi(m) é par.

Passo 3

Prova de que \gcd(m-a,m)=\gcd(a,m). Isto é um fato simples de propriedades de máximo divisor comum: para inteiros a,m,
\gcd(m-a,m)=\gcd(a,m).
Explicação passo a passo: qualquer divisor comum de a e m divide também m-(m-a)=a e m; e qualquer divisor comum de m-a e m divide m-(m-a)=a. Portanto os conjuntos de divisores comuns coincidem e os máximos coincidem. Consequência imediata: se \gcd(a,m)=1 então \gcd(m-a,m)=1. Logo o emparelhamento leva um número coprimo a outro número coprimo.

Passo 4

Mostrar que, para m>2, não existem pontos fixos do emparelhamento (isto é, não há a com a\equiv m-a\pmod m). Se a\equiv m-a\pmod m então 2a\equiv0\pmod m, isto é, m divide 2a. Mas se também \gcd(a,m)=1 então qualquer divisor comum de m e a é 1, logo a divisibilidade m\mid 2a implica m\mid 2. Assim m seria 1 ou 2. Para m>2 isso é impossível. Portanto, quando m>2, \;a\not\equiv m-a\pmod m para todo a com \gcd(a,m)=1. Em palavras: o par \{a,m-a\} sempre contém dois elementos distintos.

Passo 5

Conclusão combinando os fatos: o conjunto dos inteiros a com 1\le a\le m e \gcd(a,m)=1 é fechado pelo mapa a\mapsto m-a (pela Passo 3) e esse mapa é uma involução sem pontos fixos quando m>2 (pela Passo 4). Logo os elementos coprimos a m se dividem em pares disjuntos de tamanho 2. Assim o número total desses elementos, \varphi(m), é soma de vários 2's, isto é, um número par.

Resposta

\varphi(m) é par para todo m>2.

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