Mostrar que (
) é um GRUPO ABELIANO, a operação
sen do definida por
.
Passo 1
O problema pede para mostrar que o conjunto
, com a operação
é um grupo abeliano. Para isso vamos verificar, nesta ordem, fechamento, associatividade, elemento identidade, inverso de um elemento e comutatividade.
Passo 2
Fechamento: dado
, temos
. Precisamos também mostrar que
. Suponha, por absurdo,
Reescrevendo,
Isso implicaria
ou
, o que contradiz
. Logo
e o resultado fica em
. Portanto, há fechamento.
Passo 3
Associatividade: calculemos
Por outro lado,
Como as expressões coincidem, a operação é associativa.
Passo 4
Elemento identidade: buscamos
tal que
Isto é,
Como
, concluímos
. Verificamos também
. Logo
é identidade.
Passo 5
Inverso: dado
, queremos
tal que
Isto é,
Note que
pois
daria
, absurdo. Logo
e é o inverso de
.
Passo 6
Comutatividade:
Portanto a operação é comutativa.
Resposta
Portanto,
é de fato um grupo abeliano.