Mostrar que ( R-\{I\}, T ) é um GRUPO ABELIANO, a operação T sen do definida por a T b=a+b-a b.

Passo 1

O problema pede para mostrar que o conjunto \bigl(\mathbb{R}\setminus\{1\},T\bigr), com a operação
a\,T\,b = a + b - a b,
é um grupo abeliano. Para isso vamos verificar, nesta ordem, fechamento, associatividade, elemento identidade, inverso de um elemento e comutatividade.

Passo 2

Fechamento: dado a,b\in\mathbb{R}\setminus\{1\}, temos a+b-ab\in\mathbb{R}. Precisamos também mostrar que a+b-ab\neq1. Suponha, por absurdo,
a + b - ab = 1.
Reescrevendo,
a + b - ab -1 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (a-1)(b-1)=0.
Isso implicaria a=1 ou b=1, o que contradiz a,b\neq1. Logo a+b-ab\neq1 e o resultado fica em \mathbb{R}\setminus\{1\}. Portanto, há fechamento.

Passo 3

Associatividade: calculemos
(a\,T\,b)\,T\,c = \bigl(a+b-ab\bigr) + c - \bigl(a+b-ab\bigr)c
= a + b - ab + c - ac - bc + abc = a + b + c - (ab+ac+bc) + abc.
Por outro lado,
a\,T\,(b\,T\,c) = a + \bigl(b+c-bc\bigr) - a\bigl(b+c-bc\bigr)
= a + b + c - bc - ab - ac + abc = a + b + c - (ab+ac+bc) + abc.
Como as expressões coincidem, a operação é associativa.

Passo 4

Elemento identidade: buscamos e\in\mathbb{R}\setminus\{1\} tal que
a\,T\,e = a.
Isto é,
a + e - ae = a \quad\Longleftrightarrow\quad e(1 - a)=0.
Como a\neq1, concluímos e=0. Verificamos também e\,T\,a = 0 + a - 0\cdot a = a. Logo 0 é identidade.

Passo 5

Inverso: dado a\in\mathbb{R}\setminus\{1\}, queremos b tal que
a\,T\,b = 0.
Isto é,
a + b - ab = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad b(1-a) = -a \quad\Longleftrightarrow\quad b = \frac{-a}{1-a} = \frac{a}{a-1}.
Note que b\neq1 pois \tfrac{a}{a-1}=1 daria a=a-1, absurdo. Logo b\in\mathbb{R}\setminus\{1\} e é o inverso de a.

Passo 6

Comutatividade:
a\,T\,b = a + b - ab = b + a - ba = b\,T\,a.
Portanto a operação é comutativa.

Resposta

Portanto, \bigl(\mathbb{R}\setminus\{1\},T\bigr) é de fato um grupo abeliano.

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