Mostrar que são GRUPOS os grupóides:
({3 k, \quad k \in Z},+)
({3 k, \quad k \in Z},+)
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com a operação de adição herdada de
. Precisamos mostrar que
satisfaz os quatro axiomas de grupo:
- fechamento,
- associatividade,
- elemento neutro,
- inversos.
Passo 2
Fechamento: sejam
e
elementos de
, com
. Então
Como
. Logo,
é fechado sob adição.)
Passo 3
Associatividade: a operação é simplesmente a adição de inteiros restrita a
. Como a adição em
é associativa, para quaisquer
vale
Passo 4
Elemento neutro: na adição de inteiros o neutro é
. Observamos que
E, para todo
, tem-se
e
. Logo,
é o elemento neutro de
.
Passo 5
Inversos: dado
, seu inverso aditivo em
é
. Note que
e
, portanto
. Além disso,
.
Resposta
Assim,
com a adição forma um grupo. Como a adição é comutativa, na verdade é um grupo abeliano.