Mostrar que são GRUPOS os grupóides:
({3 k, \quad k \in Z},+)

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = \{3k \mid k \in \mathbb{Z}\}
com a operação de adição herdada de \mathbb{Z}. Precisamos mostrar que (S,+) satisfaz os quatro axiomas de grupo:
  1. fechamento,
  2. associatividade,
  3. elemento neutro,
  4. inversos.

Passo 2

Fechamento: sejam x=3k e y=3m elementos de S, com k,m\in\mathbb{Z}. Então
x+y \;=\;3k + 3m \;=\;3\,(k+m).
Como k+m\in\mathbb{Z}$, segue que \(x+y\in S. Logo, S é fechado sob adição.)

Passo 3

Associatividade: a operação é simplesmente a adição de inteiros restrita a S. Como a adição em \mathbb{Z} é associativa, para quaisquer x,y,z\in S vale
(x + y) + z \;=\; x + (y + z).

Passo 4

Elemento neutro: na adição de inteiros o neutro é 0. Observamos que
0 = 3\cdot 0 \;\in\; S.
E, para todo x\in S, tem-se x+0 = x e 0+x = x. Logo, 0 é o elemento neutro de (S,+).

Passo 5

Inversos: dado x=3k\in S, seu inverso aditivo em \mathbb{Z} é -x=-3k. Note que
-3k = 3\,(-k)
e -k\in\mathbb{Z}, portanto -x\in S. Além disso, x + (-x) = 0.

Resposta

Assim, \{3k \mid k \in \mathbb{Z}\} com a adição forma um grupo. Como a adição é comutativa, na verdade é um grupo abeliano.

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