Mostrar que são GRUPOS os grupóides:
({2^{k}, \quad k \in Z},.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
G = \{2^{k} \mid k \in \mathbb{Z}\}
com a operação de multiplicação é um grupo. Para isso, vamos usar os axiomas de grupo: fechamento, associatividade, elemento neutro e inverso para cada elemento.

Passo 2

Verificar o fechamento: peguemos quaisquer 2^{m},2^{n}\in G. Ao multiplicá-los,
2^{m}\cdot 2^{n} = 2^{m+n}.
Como m+n\in\mathbb{Z}, segue que 2^{m+n}\in G. Logo, G é fechado sob a multiplicação.

Passo 3

Verificar a associatividade: a multiplicação de reais é associativa, isto é, para quaisquer a,b,c\in G\subset\mathbb{R},
(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c).
Portanto, a operação em G herda essa propriedade.

Passo 4

Identificar o elemento neutro: queremos um e\in G tal que, para todo 2^{k}\in G,
e\cdot 2^{k} = 2^{k}\quad\text{e}\quad 2^{k}\cdot e = 2^{k}.
Como 2^{0}=1 e 1\cdot2^{k}=2^{k}, temos e = 2^{0}\in G.

Passo 5

Verificar o inverso de um elemento genérico 2^{k}: precisamos de x\in G tal que
2^{k}\cdot x = 1 = 2^{0}.
Basta escolher x = 2^{-k}, pois
2^{k}\cdot 2^{-k} = 2^{k+(-k)} = 2^{0} = 1.
E como -k\in\mathbb{Z}, segue que 2^{-k}\in G.

Resposta

O conjunto G = \{2^{k}\mid k\in\mathbb{Z}\} com a multiplicação satisfaz fechamento, associatividade, possui elemento neutro 2^{0}=1 e cada elemento 2^{k} tem inverso 2^{-k}. Portanto, \bigl(G,\cdot\bigr) é um grupo (abeliano).

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