Mostrar que são GRUPOS os grupóides:
({2^{k}, \quad k \in Z},.)
({2^{k}, \quad k \in Z},.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
com a operação de multiplicação é um grupo. Para isso, vamos usar os axiomas de grupo: fechamento, associatividade, elemento neutro e inverso para cada elemento.
Passo 2
Verificar o fechamento: peguemos quaisquer
. Ao multiplicá-los,
Como
, segue que
. Logo,
é fechado sob a multiplicação.
Passo 3
Verificar a associatividade: a multiplicação de reais é associativa, isto é, para quaisquer
,
Portanto, a operação em
herda essa propriedade.
Passo 4
Identificar o elemento neutro: queremos um
tal que, para todo
,
Como
e
, temos
.
Passo 5
Verificar o inverso de um elemento genérico
: precisamos de
tal que
Basta escolher
, pois
E como
, segue que
.
Resposta
O conjunto
com a multiplicação satisfaz fechamento, associatividade, possui elemento neutro
e cada elemento
tem inverso
. Portanto,
é um grupo (abeliano).