Mostrar que o seguinte limite não existe
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar que o limite (quando
se aproxima do ponto
) não existe.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função está definida por uma razão entre potências de
e . - O ponto de interesse é
. - É necessário provar que não existe um número
tal que se aproxime de para toda maneira de aproximar .
Passo 2
Conceito útil (explicado devagar): dizer que o limite
significa que, quando
se aproxima de
por qualquer caminho possível, os valores
se aproximam do mesmo número
.
Teste de caminhos (ferramenta prática): se existirem dois caminhos que levam a e ao longo desses caminhos os valores de
tenderem a números diferentes, então o limite total não existe. Isso acontece porque o limite, se existisse, teria que ser único.
Teste de caminhos (ferramenta prática): se existirem dois caminhos que levam a
Passo 3
Vou calcular o limite de
ao longo do primeiro caminho: a reta vertical
. Substituindo
na fórmula da função, para
,
Portanto, ao aproximar
de
mantendo
, os valores de
são exatamente
, e o limite ao longo desse caminho é
Passo 4
Agora escolho um segundo caminho estratégico: uma parábola que relaciona
e
. Tome
onde
é uma constante real (mais tarde escolherei um
específico). Para simplificar, ponha
. Então
corresponde a
, e
. Substituindo em
,
Como
cancela (para
),
ao longo do caminho
. Note que esse valor é constante, independente de quão próximo de
estamos (desde que
separamos o ponto).
Passo 5
Escolhendo valores concretos de
para comparar com o caminho da Passo 3:
- Para
a parábola é . Substituindo em pela fórmula acima dá , que coincide com o resultado do caminho (ambos dão ). - Para
a parábola é . Pela fórmula obtemos
ao longo desse caminho. Logo
Passo 6
Comparando os resultados: pelo caminho
o limite é
; pelo caminho
o limite é
. Como são números diferentes, o valor a que
tende depende do caminho escolhido. Pelo teste de caminhos explicado no Passo 2, isso implica que não existe um único número
que seja o limite de
quando
.
Passo 7
Observação adicional (dica de prova para provas/exames): a escolha do caminho
é intencional porque faz os termos em potências de
e
terem a mesma ordem (a mesma potência em
), permitindo que cancelem e resultem em um valor que depende de
. Esse é um truque comum para construir caminhos que dão limites diferentes. Também dá para ver que a família de valores possíveis é
que assume diferentes números para diferentes
(por exemplo
dá
,
dá
,
dá
), reforçando a inexistência do limite.
Resposta
O limite
não existe.