Mostrar que o seguinte limite não existe
f(x, y)=\frac{(x-1)^{2} y}{(x-1)^{4}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{(x-1)^{2}y}{(x-1)^{4}+y^{2}}
e pede para mostrar que o limite (quando (x,y) se aproxima do ponto (1,0)) não existe.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está definida por uma razão entre potências de x-1 e y.
  • O ponto de interesse é (1,0).
  • É necessário provar que não existe um número L tal que f(x,y) se aproxime de L para toda maneira de aproximar (1,0).

Passo 2

Conceito útil (explicado devagar): dizer que o limite \lim_{(x,y)\to(1,0)} f(x,y)=L significa que, quando (x,y) se aproxima de (1,0) por qualquer caminho possível, os valores f(x,y) se aproximam do mesmo número L.
Teste de caminhos (ferramenta prática): se existirem dois caminhos que levam a (1,0) e ao longo desses caminhos os valores de f tenderem a números diferentes, então o limite total não existe. Isso acontece porque o limite, se existisse, teria que ser único.

Passo 3

Vou calcular o limite de f ao longo do primeiro caminho: a reta vertical x=1. Substituindo x=1 na fórmula da função, para y\neq0,
f(1,y)=\frac{(1-1)^{2}y}{(1-1)^{4}+y^{2}}=\frac{0\cdot y}{0+y^{2}}=0.
Portanto, ao aproximar (x,y) de (1,0) mantendo x=1, os valores de f(x,y) são exatamente 0, e o limite ao longo desse caminho é
\lim_{(x,y)\to(1,0),\,x=1} f(x,y)=0.

Passo 4

Agora escolho um segundo caminho estratégico: uma parábola que relaciona y e x-1. Tome
y = k\,(x-1)^{2},
onde k é uma constante real (mais tarde escolherei um k específico). Para simplificar, ponha t=x-1. Então t\to0 corresponde a x\to1, e y=k t^{2}. Substituindo em f,
f(x,y)=\frac{t^{2}\cdot (k t^{2})}{t^{4} + (k t^{2})^{2}} =\frac{k t^{4}}{t^{4} + k^{2} t^{4}} =\frac{k t^{4}}{(1+k^{2})t^{4}}.
Como t^{4} cancela (para t\neq0),
f(x,y)=\frac{k}{1+k^{2}}
ao longo do caminho y=k(x-1)^{2}. Note que esse valor é constante, independente de quão próximo de (1,0) estamos (desde que x\neq1 separamos o ponto).

Passo 5

Escolhendo valores concretos de k para comparar com o caminho da Passo 3:
  • Para k=0 a parábola é y=0. Substituindo em f pela fórmula acima dá \dfrac{0}{1+0}=0, que coincide com o resultado do caminho x=1 (ambos dão 0).
  • Para k=1 a parábola é y=(x-1)^{2}. Pela fórmula obtemos
f(x,y)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}
ao longo desse caminho. Logo
\lim_{(x,y)\to(1,0),\,y=(x-1)^{2}} f(x,y)=\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Comparando os resultados: pelo caminho x=1 o limite é 0; pelo caminho y=(x-1)^{2} o limite é \tfrac{1}{2}. Como são números diferentes, o valor a que f(x,y) tende depende do caminho escolhido. Pelo teste de caminhos explicado no Passo 2, isso implica que não existe um único número L que seja o limite de f quando (x,y)\to(1,0).

Passo 7

Observação adicional (dica de prova para provas/exames): a escolha do caminho y=k(x-1)^{2} é intencional porque faz os termos em potências de x-1 e y terem a mesma ordem (a mesma potência em t), permitindo que cancelem e resultem em um valor que depende de k. Esse é um truque comum para construir caminhos que dão limites diferentes. Também dá para ver que a família de valores possíveis é
\frac{k}{1+k^{2}},
que assume diferentes números para diferentes k (por exemplo k=0 0, k=1 \tfrac{1}{2}, k=-1 -\tfrac{1}{2}), reforçando a inexistência do limite.

Resposta

O limite \displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,0)} f(x,y) não existe.

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