Questão 1. Encontre o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{3 n}}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6 \cdots(3 n-1) 3 n}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Série dada:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{3n}}{2\cdot 3\cdot 5\cdot 6\cdots(3n-1)\,3n}.
  • Observação útil (peguei a forma dos fatores do enunciado): o denominador é o produto
\prod_{k=1}^{n}(3k-1)(3k).
  • O enunciado pede:
    • o raio de convergência da série (isto é, o valor de R tal que a série converge para |x|<R e diverge para |x|>R);
    • o intervalo de convergência (no caso real, o conjunto de x\in\mathbb{R} onde a série converge).

Passo 2

Escolha do método e ideia usada (explicação didática do teste da razão).
  • Aqui cada termo é simples de relacionar com o próximo, porque ao passar de n para n+1 o numerador ganha um fator x^3 e o denominador ganha os dois fatores (3n+2)(3n+3). Por isso o teste da razão (ratio test) é a ferramenta natural: para uma série de termos a_n, se
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
existe, então
  • se L<1 a série converge absolutamente;
  • se L>1 a série diverge;
  • se L=1 o teste é inconclusivo.
  • Para séries de potências, avaliar convergência para um x fixo via teste da razão permite concluir sobre o raio: se para todo x com |x|<R obtemos L<1 e para |x|>R obtemos L>1, então R é o raio. Neste problema o limite do quociente ficará muito simples e indicará diretamente o comportamento para qualquer x.

Passo 3

Calcular explicitamente o quociente entre termos consecutivos.
  • Defina
a_n=\frac{x^{3n}}{\prod_{k=1}^{n}(3k-1)(3k)}.
  • Então
a_{n+1}=\frac{x^{3(n+1)}}{\prod_{k=1}^{n+1}(3k-1)(3k)}.
  • O quociente é
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{x^{3(n+1)}}{x^{3n}}\cdot \frac{\prod_{k=1}^{n}(3k-1)(3k)}{\prod_{k=1}^{n+1}(3k-1)(3k)} = \frac{x^3}{(3n+2)(3n+3)}.

Passo 4

Aplicar o teste da razão e deduzir o raio.
  • Tome o valor-limite do valor absoluto do quociente:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{|x|^3}{(3n+2)(3n+3)}.
  • Como (3n+2)(3n+3) cresce como 9n^2, o limite acima é
\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^3}{(3n+2)(3n+3)}=0
para todo x\in\mathbb{R} (qualquer número real fixo). Portanto para qualquer x esse limite é 0<1, o que pelo teste da razão implica que a série converge absolutamente para todo x real.
  • Conclusão: a série converge para todos os x\in\mathbb{R}. Isso significa que o raio de convergência é infinito:
R=\infty.

Passo 5

Comentário final e verificação intuitiva.
  • Intuitivamente: o denominador cresce como um produto de dois fatores proporcionais a n por cada k, ou seja cresce muito mais rápido que o numerador x^{3n} quando n\to\infty, então a razão entre termos vai a zero e a soma converge para qualquer x.
  • Não há necessidade de checar “endpoints” porque o intervalo de convergência é todo o eixo real.

Resposta

R=\infty
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty)

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