Questão 1. Encontre o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{3 n}}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6 \cdots(3 n-1) 3 n}
Observação útil (peguei a forma dos fatores do enunciado): o denominador é o produto
\prod_{k=1}^{n}(3k-1)(3k).
O enunciado pede:
o raio de convergência da série (isto é, o valor de R tal que a série converge para |x|<R e diverge para |x|>R);
o intervalo de convergência (no caso real, o conjunto de x\in\mathbb{R} onde a série converge).
Passo 2
Escolha do método e ideia usada (explicação didática do teste da razão).
Aqui cada termo é simples de relacionar com o próximo, porque ao passar de n para n+1 o numerador ganha um fator x^3 e o denominador ganha os dois fatores (3n+2)(3n+3). Por isso o teste da razão (ratio test) é a ferramenta natural: para uma série de termos a_n, se
Para séries de potências, avaliar convergência para um x fixo via teste da razão permite concluir sobre o raio: se para todo x com |x|<R obtemos L<1 e para |x|>R obtemos L>1, então R é o raio. Neste problema o limite do quociente ficará muito simples e indicará diretamente o comportamento para qualquer x.
Passo 3
Calcular explicitamente o quociente entre termos consecutivos.
Como (3n+2)(3n+3) cresce como 9n^2, o limite acima é
\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^3}{(3n+2)(3n+3)}=0
para todo x\in\mathbb{R} (qualquer número real fixo). Portanto para qualquer x esse limite é 0<1, o que pelo teste da razão implica que a série converge absolutamente para todo x real.
Conclusão: a série converge para todos os x\in\mathbb{R}. Isso significa que o raio de convergência é infinito:
R=\infty.
Passo 5
Comentário final e verificação intuitiva.
Intuitivamente: o denominador cresce como um produto de dois fatores proporcionais a n por cada k, ou seja cresce muito mais rápido que o numerador x^{3n} quando n\to\infty, então a razão entre termos vai a zero e a soma converge para qualquer x.
Não há necessidade de checar “endpoints” porque o intervalo de convergência é todo o eixo real.
Resposta
R=\infty
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty)