Questão 10: Dada a matriz relativas as bases indicadas, encontre a transformação linear, indicando seu domínio, contra-domínio e lei:
Considerando as bases canônicas de \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{3}
Encontrar a transformação linear T associada a essa matriz;
Indicar o domínio de T;
Indicar o contradomínio de T;
Dar a lei (fórmula) de T, isto é, como T age em um vetor genérico.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A matriz tem 2 linhas e 3 colunas.
As bases usadas são as bases canônicas de \mathbb{R}^{3} (domínio) e de \mathbb{R}^{2} (contradomínio).
Passo 2
Lembrete útil (explicação didática sobre como interpretar a matriz):
Uma matriz A de tamanho m\times n que representa uma transformação linear em bases canônicas corresponde a uma transformação T:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m} dada por multiplicação matricial T(x)=A x.
Cada coluna j da matriz é a imagem T(e_j) do j-ésimo vetor da base canônica do domínio (onde e_j tem 1 na posição j e 0 nas outras).
Para um vetor genérico do domínio x=(x_1,x_2,\dots,x_n)^{T}, a multiplicação A x é uma combinação linear das colunas de A com coeficientes x_1,x_2,\dots,x_n:
A x = x_1(\text{coluna }1)+x_2(\text{coluna }2)+\cdots+x_n(\text{coluna }n).
Passo 3
Determinar domínio e contradomínio a partir das dimensões da matriz:
A matriz tem 3 colunas, logo o domínio tem dimensão 3: o domínio é \mathbb{R}^{3}.
A matriz tem 2 linhas, logo a imagem (e portanto o contradomínio indicado) é \mathbb{R}^{2}.
Portanto: