Questão 10: Dada a matriz relativas as bases indicadas, encontre a transformação linear, indicando seu domínio, contra-domínio e lei:
Considerando as bases canônicas de \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{3}
[R]=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\\\ 2 & 1 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz relativa às bases canônicas de \mathbb{R}^{2} e \mathbb{R}^{3}:
[R]=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\\\ 2 & 1 & 1 \end{array}\right].
O que é pedido:
  • Encontrar a transformação linear T associada a essa matriz;
  • Indicar o domínio de T;
  • Indicar o contradomínio de T;
  • Dar a lei (fórmula) de T, isto é, como T age em um vetor genérico.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A matriz tem 2 linhas e 3 colunas.
  • As bases usadas são as bases canônicas de \mathbb{R}^{3} (domínio) e de \mathbb{R}^{2} (contradomínio).

Passo 2

Lembrete útil (explicação didática sobre como interpretar a matriz):
  • Uma matriz A de tamanho m\times n que representa uma transformação linear em bases canônicas corresponde a uma transformação T:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m} dada por multiplicação matricial T(x)=A x.
  • Cada coluna j da matriz é a imagem T(e_j) do j-ésimo vetor da base canônica do domínio (onde e_j tem 1 na posição j e 0 nas outras).
  • Para um vetor genérico do domínio x=(x_1,x_2,\dots,x_n)^{T}, a multiplicação A x é uma combinação linear das colunas de A com coeficientes x_1,x_2,\dots,x_n:
A x = x_1(\text{coluna }1)+x_2(\text{coluna }2)+\cdots+x_n(\text{coluna }n).

Passo 3

Determinar domínio e contradomínio a partir das dimensões da matriz:
  • A matriz tem 3 colunas, logo o domínio tem dimensão 3: o domínio é \mathbb{R}^{3}.
  • A matriz tem 2 linhas, logo a imagem (e portanto o contradomínio indicado) é \mathbb{R}^{2}.
    Portanto:
\text{domínio: }\mathbb{R}^{3},\qquad \text{contradomínio: }\mathbb{R}^{2}.íí

Passo 4

Extrair as colunas da matriz (essas são as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^{3}):
As colunas são
\text{coluna }1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix},\qquad \text{coluna }2=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad \text{coluna }3=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Isso significa que
T(e_1)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix},\quad T(e_2)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad T(e_3)=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix},
onde e_1=(1,0,0)^{T}, e_2=(0,1,0)^{T}, e_3=(0,0,1)^{T}.]

Passo 5

Construir a lei usando combinação linear das colunas:
Sejam x=(x_1,x_2,x_3)^{T}\in\mathbb{R}^{3}. Pela regra da multiplicação matricial,
T(x)= [R]\;x = x_1\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix} + x_2\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} + x_3\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Agora somamos componente a componente para obter a fórmula explícita.]

Passo 6

Calcular as componentes explicitamente (passo a passo):
  • Componente 1 (linha 1): 1\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + (-1)\cdot x_3 = x_1 - x_3.
  • Componente 2 (linha 2): 2\cdot x_1 + 1\cdot x_2 + 1\cdot x_3 = 2x_1 + x_2 + x_3.
Portanto, para x=(x_1,x_2,x_3)^{T},
T(x)=\begin{pmatrix}x_1 - x_3\\[6pt] 2x_1 + x_2 + x_3\end{pmatrix}.
Esta é a lei da transformação linear em forma componente a componente.]

Passo 7

Verificações rápidas (para ganhar confiança — exemplos simples):
  • T(1,0,0)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix} (confere com a coluna 1).
  • T(0,1,0)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} (confere com a coluna 2).
  • T(0,0,1)=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\end{pmatrix} (confere com a coluna 3).
Bom trabalho! Você agora tem claramente o domínio, o contradomínio e a lei da transformação associada à matriz dada.]

Resposta

\text{Domínio: }\mathbb{R}^{3}í
\text{Contradomínio: }\mathbb{R}^{2}í
\displaystyle T(x_1,x_2,x_3)=\bigl(x_1-x_3,\;2x_1+x_2+x_3\bigr)

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