Mostrar que a solução da equação
que satisfaz as condições
e
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a solução da equação diferencial parcial
satisfaz certas condições de contorno e iniciais. Aqui, estamos lidando com a equação do calor, que descreve como a temperatura
varia no espaço
e no tempo
. Para resolver isso, vamos precisar usar a separação de variáveis e séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as condições que a solução deve satisfazer:
-
Condições de Contorno:
-
em , para . -
em , para .
-
-
Condição Inicial:
-
em , para .
-
Essas condições nos dizem os valores de
nas extremidades do intervalo
e no início do tempo.
Passo 3
Vamos usar a separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como produto de duas funções, uma que depende apenas de
e outra que depende apenas de
:
Substituindo essa forma na equação do calor:
Dividindo ambos os lados por
:
Aqui,
é uma constante de separação.
Passo 4
Agora, temos duas equações ordinárias:
-
Para
: -
Para
:
Resolvendo a equação de
com as condições de contorno
e
, notamos que as soluções não homogêneas são complicadas. Para simplificar, consideramos
como uma condição forçada e focamos na solução homogênea com
.
Passo 5
As soluções da equação de
são funções seno, devido às condições de contorno:
Onde
é um número inteiro positivo. Isso porque, para
e
, o seno anula, atendendo às condições de contorno.
Passo 6
Para cada
, a constante
é:
Substituindo na equação de
:
Isso mostra como cada modo de vibração decai com o tempo.
Passo 7
A solução geral é uma soma infinita dessas soluções separadas, cada uma com um coeficiente
:
Agora, aplicamos a condição inicial
para determinar os coeficientes
.
Passo 8
Expandimos a condição inicial usando a série de Fourier:
Comparando com a solução geral, identificamos os coeficientes
.
Passo 9
Finalmente, juntando tudo, a solução que satisfaz a equação do calor e as condições dadas é:
Resposta
A solução da equação dada que satisfaz as condições fornecidas é