Em cada um dos itens abaixo, reescreva a equação na forma padrão, classifique e faça o gráfico. Observação. Neste exercício, a parte mais demorada e tediosa é reescrever a equação na forma padrão, que exige completamentos de quadrados e outras manipulações algébricas. Se você se sente seguro e confortável com essas manipulações, sinta-se à vontade pare ver a equação na forma padrão no gabarito e usá-la para fazer o restante do exercício.
§ 2x^2 + 3y^2 + 12x + 6y + 30 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação quadrática: . Nosso objetivo é reescrevê-la na forma padrão, identificar de que tipo de cônica ela se trata e desenhar o gráfico. Para isso, vamos precisar completar o quadrado e usar conceitos de geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os termos com e juntos:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de . Primeiro, fatoramos o coeficiente de :
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, pegamos o coeficiente de (que é 6), dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 9 dentro dos parênteses:
Simplificando:

Passo 4

Vamos agora completar o quadrado para os termos de . Primeiro, fatoramos o coeficiente de :
Completo o quadrado para . Pegamos o coeficiente de (que é 2), dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 1 dentro dos parênteses:
Simplificando:

Passo 5

Agora, somamos os termos constantes:
Então:
Adicionando 21 aos dois lados:

Passo 6

Vamos dividir todos os termos por -9 para isolar as expressões quadráticas:
Simplificando:
Multiplicando os dois lados por -1 para deixar em forma padrão positiva:

Passo 7

Observamos que a soma de termos positivos iguala um número negativo, o que não é possível para números reais. Isso significa que a equação não representa nenhuma cônica real no plano.

Resposta

A equação não representa nenhuma cônica real, pois não existe solução real para ela.

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