Dada a equação
partial^2 upartial x^2=1k partial upartial t+betak(u-u0)
onde k, beta e u0 são constantes e as condições de fronteira
u(x, 0)=f(x), u(0, t)=u1, u(l, t)=u2
onde u1 e u2 são constantes, mostrar, por meio da substituição
u(x, t)=u0+v(x, t) e^-beta t
que a equação se reduz a
partial^2 vpartial x^2=1k partial vpartial t
e as condições de fronteira a
v(x, 0)=f(x)-u0, v(0, t)=(u1-u0) e^beta t, v(l, t)=(u2-u0)^beta t
Mostrar portanto que quando u1=u2=u0,
u(x, t)=u0+sumn=1^infty bn sen n pi xl e^-((beta l^2+n^2 pi^2 k) t) / l^2
onde
bn=2l integral0^l f(x) sen n pi xl d x-2 u0n pi(1-cos n pi)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial parcial que envolve derivadas em relação a e . O enunciado nos pede para fazer uma substituição específica e simplificar a equação, além de ajustar as condições de fronteira. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais parciais e técnicas de substituição. Vamos passo a passo entender e resolver esse problema!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação original que temos:
partial^2 upartial x^2 = 1k partial upartial t + betak(u - u0)
Aqui, u(x, 0) = f(x), u(0, t) = u1, u(l, t) = u2 , e são constantes. Também temos as condições de fronteira:

Passo 3

A substituição que vamos fazer é:
u(x, t) = u0 + v(x, t) e^-beta t
Isso significa que estamos escrevendo como uma parte constante mais uma função que varia com e , multiplicada por . Essa técnica ajuda a simplificar a equação original.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas necessárias para substituir na equação original. Primeiro, a segunda derivada de partial^2 upartial x^2 = partial^2 vpartial x^2 e^-beta t em relação a partial upartial t = partial vpartial t e^-beta t - beta v e^-beta t :
Agora, a derivada de em relação a :

Passo 5

Substituindo essas derivadas na equação original:
partial^2 vpartial x^2 e^-beta t = 1k ( partial vpartial t e^-beta t - beta v e^-beta t ) + betak ( u0 + v e^-beta t - u0 )
Simplificando os termos:
partial^2 vpartial x^2 e^-beta t = 1k partial vpartial t e^-beta t - betak v e^-beta t + betak v e^-beta t
Perceba que os últimos dois termos se cancelam:
partial^2 vpartial x^2 e^-beta t = 1k partial vpartial t e^-beta t

Passo 6

Podemos dividir ambos os lados da equação por partial^2 vpartial x^2 = 1k partial vpartial t (que nunca é zero):
Pronto! Vamos mostrar que a equação se reduz a essa forma mais simples para .

Passo 7

Agora, vamos ajustar também as condições de fronteira com a substituição u(x, 0) = f(x) Rightarrow u0 + v(x, 0) e^0 = f(x) Rightarrow v(x, 0) = f(x) - u0 :
  1. Condição inicial:
u(0, t) = u1 Rightarrow u0 + v(0, t) e^-beta t = u1 Rightarrow v(0, t) = (u1 - u0) e^beta t
  1. Condições de fronteira:
u(l, t) = u2 Rightarrow u0 + v(l, t) e^-beta t = u2 Rightarrow v(l, t) = (u2 - u0) e^beta t

Passo 8

Agora, concluímos que a equação simplificada para partial^2 vpartial x^2 = 1k partial vpartial t é:
v(x, 0) = f(x) - u0, v(0, t) = (u1 - u0) e^beta t, v(l, t) = (u2 - u0) e^beta t
E as condições de fronteira ajustadas são:

Resposta

Assim, ao fazer a substituição partial^2 vpartial x^2 = 1k partial vpartial t , a equação dada se reduz a
v(x, 0) = f(x) - u0, v(0, t) = (u1 - u0) e^beta t, v(l, t) = (u2 - u0) e^beta t
com as condições de fronteira:

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