Mostrar que a terna (
) é um ANEL COMUTATIVO UNITARIO, as operações * e
em
sendo definidas por
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a terna
é um anel comutativo unitário. As operações em
são dadas por:
Informações relevantes fornecidas:
- O conjunto é
(os números racionais). - A operação “aditiva” do anel é a operação
definida acima. - A operação “multiplicativa” do anel é a operação
definida acima. - Preciso verificar as propriedades que caracterizam um anel comutativo unitário: que
é um grupo abeliano (associatividade, elemento neutro, inversos, comutatividade), que é associativa e comutativa, que distribui sobre (ambos os lados, mas como é comutativa basta verificar um dos lados), e que existe elemento neutro multiplicativo (unidade) em . Também devo verificar fechamento das operações (mas isso é imediato, pois somas e produtos de racionais são racionais).
Passo 2
Verificação das propriedades de
(a “adição” do anel).
-
Fechamento: para quaisquer
, é soma e subtração de racionais, logo . -
Comutatividade: para quaisquer
,
portanto
é comutativa.
- Associatividade: calcule
e .
Como são iguais para quaisquer
, a operação
é associativa.
- Elemento neutro aditivo: procuramos
tal que, para todo ,
Isto é,
Logo o neutro aditivo é
. Verificação:
.
- Inversos aditivos: dado
, procuramos tal que (neutro). Então
Logo o inverso de
em
é
, que é racional. Verificação rápida com exemplo: para
, inverso é
e
.
Portanto
é um grupo abeliano.
Passo 3
Verificação das propriedades de
(a “multiplicação” do anel).
- Fechamento: para quaisquer
,
é combinação linear e produto de racionais, logo
.
- Comutatividade: a fórmula é simétrica em
e , então
- Associatividade: precisamos mostrar que, para quaisquer
,
Calcule primeiro
:
Agora
Expanda:
Agora calcule
. Primeiro
Então
Expanda:
Reescrevendo em ordem:
Comparando com a expressão obtida para
, vemos que são idênticas. Portanto
é associativa.
Conclusão:
é fechada, comutativa e associativa.
Passo 4
Existência de elemento neutro multiplicativo (unidade) e verificação.
Procuramos
tal que, para todo
,
Isso significa
Para que essa igualdade valha para todo
, a escolha
funciona (pois anula o lado esquerdo independentemente de
). Verificação direta:
Assim, o elemento neutro multiplicativo é
(o zero racional). Observação: aqui o neutro multiplicativo coincide com o zero usual em
, mas não coincide com o neutro aditivo do anel, que é
. Não há problema nisso.
Passo 5
Verificação da distributividade de
sobre
.
Precisamos mostrar que, para quaisquer
,
(Como
é comutativa, a distributividade à direita segue do mesmo cálculo.)
Calcule
:
Agora
Expanda o último termo:
Portanto
Agora calcule o lado direito:
Então
Somando:
As duas expressões coincidem, logo a distributividade vale:
Passo 6
Conclusão e observações finais (resumo das peças-chave, para você decorar para a prova).
-
é um grupo abeliano com neutro aditivo e inverso de dado por . - A operação
é comutativa, associativa e tem neutro multiplicativo . -
é distributiva sobre . - Todas as operações permanecem em
.
Portanto todos os axiomas de um anel comutativo unitário estão satisfeitos:
é um anel (pois
é grupo abeliano e
é associativa e distributiva) e é comutativo (pois
é comutativa) e unitário (pois existe neutro multiplicativo
).
Resposta
Sim:
é um anel comutativo unitário.
Neutro aditivo: .
Inverso aditivo de :
.
Neutro multiplicativo (unidade): .
Neutro aditivo:
Inverso aditivo de
Neutro multiplicativo (unidade):