Mostrar que a terna ( Q,{ }^{*}, T ) é um ANEL COMUTATIVO UNITARIO, as operações * e T em Q sendo definidas por
a * b=a+b-3 \quad e \quad a T b=a+b-\frac{1}{3} a b

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a terna (Q,{ }^{*}, T) é um anel comutativo unitário. As operações em \mathbb{Q} são dadas por:
a * b = a + b - 3
a \,T\, b = a + b - \frac{1}{3}ab
Informações relevantes fornecidas:
  • O conjunto é \mathbb{Q} (os números racionais).
  • A operação “aditiva” do anel é a operação * definida acima.
  • A operação “multiplicativa” do anel é a operação T definida acima.
  • Preciso verificar as propriedades que caracterizam um anel comutativo unitário: que (\mathbb{Q},*) é um grupo abeliano (associatividade, elemento neutro, inversos, comutatividade), que T é associativa e comutativa, que T distribui sobre * (ambos os lados, mas como T é comutativa basta verificar um dos lados), e que existe elemento neutro multiplicativo (unidade) em \mathbb{Q}. Também devo verificar fechamento das operações (mas isso é imediato, pois somas e produtos de racionais são racionais).

Passo 2

Verificação das propriedades de (\mathbb{Q},*) (a “adição” do anel).
  1. Fechamento: para quaisquer a,b\in\mathbb{Q}, a*b=a+b-3 é soma e subtração de racionais, logo a*b\in\mathbb{Q}.
  2. Comutatividade: para quaisquer a,b\in\mathbb{Q},
a*b = a+b-3 = b+a-3 = b*a,
portanto * é comutativa.
  1. Associatividade: calcule (a*b)*c e a*(b*c).
(a*b)*c = (a+b-3)+c-3 = a+b+c-6,
a*(b*c) = a+(b+c-3)-3 = a+b+c-6.
Como são iguais para quaisquer a,b,c, a operação * é associativa.
  1. Elemento neutro aditivo: procuramos e\in\mathbb{Q} tal que, para todo a,
a*e = a.
Isto é,
a+e-3 = a \implies e-3=0 \implies e=3.
Logo o neutro aditivo é \,3. Verificação: a*3 = a+3-3=a.
  1. Inversos aditivos: dado a\in\mathbb{Q}, procuramos b tal que a*b=3 (neutro). Então
a+b-3 = 3 \implies a+b = 6 \implies b = 6-a.
Logo o inverso de a em (\mathbb{Q},*) é 6-a, que é racional. Verificação rápida com exemplo: para a=2, inverso é 6-2=4 e 2*4=2+4-3=3.
Portanto (\mathbb{Q},*) é um grupo abeliano.

Passo 3

Verificação das propriedades de T (a “multiplicação” do anel).
  1. Fechamento: para quaisquer a,b\in\mathbb{Q},
a\,T\,b = a+b-\tfrac{1}{3}ab
é combinação linear e produto de racionais, logo a\,T\,b\in\mathbb{Q}.
  1. Comutatividade: a fórmula é simétrica em a e b, então
a\,T\,b = a+b-\tfrac{1}{3}ab = b+a-\tfrac{1}{3}ba = b\,T\,a.
  1. Associatividade: precisamos mostrar que, para quaisquer a,b,c,
a\,T\,(b\,T\,c) = (a\,T\,b)\,T\,c.
Calcule primeiro b\,T\,c:
b\,T\,c = b+c-\tfrac{1}{3}bc.
Agora
a\,T\,(b\,T\,c) = a + (b+c-\tfrac{1}{3}bc) - \tfrac{1}{3}a(b+c-\tfrac{1}{3}bc).
Expanda:
a\,T\,(b\,T\,c) = a+b+c-\tfrac{1}{3}bc - \tfrac{1}{3}ab - \tfrac{1}{3}ac + \tfrac{1}{9}abc.
Agora calcule (a\,T\,b)\,T\,c. Primeiro
a\,T\,b = a+b-\tfrac{1}{3}ab.
Então
(a\,T\,b)\,T\,c = (a+b-\tfrac{1}{3}ab) + c - \tfrac{1}{3}(a+b-\tfrac{1}{3}ab)c.
Expanda:
(a\,T\,b)\,T\,c = a+b-\tfrac{1}{3}ab + c - \tfrac{1}{3}ac - \tfrac{1}{3}bc + \tfrac{1}{9}abc.
Reescrevendo em ordem:
(a\,T\,b)\,T\,c = a+b+c -\tfrac{1}{3}ab -\tfrac{1}{3}ac -\tfrac{1}{3}bc + \tfrac{1}{9}abc.
Comparando com a expressão obtida para a\,T\,(b\,T\,c), vemos que são idênticas. Portanto T é associativa.
Conclusão: T é fechada, comutativa e associativa.

Passo 4

Existência de elemento neutro multiplicativo (unidade) e verificação.
Procuramos u\in\mathbb{Q} tal que, para todo a\in\mathbb{Q},
a\,T\,u = a.
Isso significa
a + u - \tfrac{1}{3}au = a \implies u - \tfrac{1}{3}au = 0 \implies u\left(1-\tfrac{1}{3}a\right)=0.
Para que essa igualdade valha para todo a, a escolha u=0 funciona (pois anula o lado esquerdo independentemente de a). Verificação direta:
a\,T\,0 = a + 0 - \tfrac{1}{3}a\cdot 0 = a.
Assim, o elemento neutro multiplicativo é \,0 (o zero racional). Observação: aqui o neutro multiplicativo coincide com o zero usual em \mathbb{Q}, mas não coincide com o neutro aditivo do anel, que é 3. Não há problema nisso.

Passo 5

Verificação da distributividade de T sobre *.
Precisamos mostrar que, para quaisquer a,b,c\in\mathbb{Q},
a\,T\,(b*c) = (a\,T\,b)*(a\,T\,c).
(Como T é comutativa, a distributividade à direita segue do mesmo cálculo.)
Calcule b*c:
b*c = b + c - 3.
Agora
a\,T\,(b*c) = a + (b+c-3) - \tfrac{1}{3}a(b+c-3).
Expanda o último termo:
\tfrac{1}{3}a(b+c-3) = \tfrac{1}{3}ab + \tfrac{1}{3}ac - a.
Portanto
a\,T\,(b*c) = a + b + c - 3 - \left(\tfrac{1}{3}ab + \tfrac{1}{3}ac - a\right) = 2a + b + c - 3 - \tfrac{1}{3}ab - \tfrac{1}{3}ac.
Agora calcule o lado direito:
a\,T\,b = a+b-\tfrac{1}{3}ab,\qquad a\,T\,c = a+c-\tfrac{1}{3}ac.
Então
(a\,T\,b)*(a\,T\,c) = (a+b-\tfrac{1}{3}ab) + (a+c-\tfrac{1}{3}ac) - 3.
Somando:
(a\,T\,b)*(a\,T\,c) = 2a + b + c - \tfrac{1}{3}ab - \tfrac{1}{3}ac - 3.
As duas expressões coincidem, logo a distributividade vale:
a\,T\,(b*c) = (a\,T\,b)*(a\,T\,c).

Passo 6

Conclusão e observações finais (resumo das peças-chave, para você decorar para a prova).
  • (\mathbb{Q},*) é um grupo abeliano com neutro aditivo 3 e inverso de a dado por 6-a.
  • A operação T é comutativa, associativa e tem neutro multiplicativo 0.
  • T é distributiva sobre *.
  • Todas as operações permanecem em \mathbb{Q}.
Portanto todos os axiomas de um anel comutativo unitário estão satisfeitos: (\mathbb{Q},{ }^{*},T) é um anel (pois (\mathbb{Q},*) é grupo abeliano e T é associativa e distributiva) e é comutativo (pois T é comutativa) e unitário (pois existe neutro multiplicativo 0).

Resposta

Sim: (\mathbb{Q},{ }^{*},T) é um anel comutativo unitário.
Neutro aditivo: \;3.
Inverso aditivo de a: \;6-a.
Neutro multiplicativo (unidade): \;0.

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