Sejam
e ( B, *, T) ) dois ANÉIS COMUTATIVOS UNITÁRIOS. Mostrar que a terna (
) também é um ANEL COMUTATIVO UNImARIO, as operações
e
no PRODVIO CARTESIANO
sendo definidas por
Passo 1
O que nos deram:
- Dois anéis comutativos unitários:
e . Aqui eu estou assumindo, conforme o enunciado, que em a operação aditiva é e a multiplicativa é , e em a operação aditiva é e a multiplicativa é . - Cada um desses anéis satisfaz todas as axiomas de anel comutativo unitário (grupo abeliano aditivo, multiplicação associativa e comutativa com elemento unidade, distributividade, etc.).
O que nos pedem:
- Mostrar que a terna
é também um anel comutativo unitário, onde as operações e no produto cartesiano são definidas componente a componente (vamos explicitar isso no passo seguinte).
Informações relevantes dadas (lista):
- Em
: existe elemento neutro aditivo , inverso aditivo de denotado , e neutro multiplicativo . - Em
: existe elemento neutro aditivo , inverso aditivo de denotado , e neutro multiplicativo . - Assumo que as leis usuais (fechamento, associatividade, comutatividade do + e *; propriedades da multiplicação; distributividade) valem em cada componente.
Passo 2
Definição explícita das operações no produto cartesiano (isso é essencial):
Explicação didática: estamos simplesmente fazendo as operações “componente a componente”: somamos as primeiras componentes usando a soma de
e somamos as segundas componentes usando a soma de
(que é chamada de
); idem para a multiplicação, usando
em
e
em
.
Passo 3
Mostrar que
é um grupo abeliano (ou seja, grupo aditivo do anel):
Fechamento: sejam
. Então, por definição,
Como
(fechamento de
em
) e
(fechamento de
em
), segue que
. Logo há fechamento.
Passo 4
Associatividade de
:
Queremos mostrar que
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Como
é associativa em
e
é associativa em
, temos
e
. Portanto os dois lados coincidem, provando associatividade.
Passo 5
Comutatividade de
:
porque
é comutativa em
e
é comutativa em
. Logo
é comutativa.
Passo 6
Elemento neutro aditivo em
:
Proponho
. Verificação:
As igualdades usam que
e
são os neutros aditivos respectivos. Logo
é o neutro de
.
Passo 7
Inversos aditivos em
:
Dado
, seja
, onde
é o inverso aditivo de
em
e
é o inverso aditivo de
em
. Então
Portanto todo elemento tem inverso aditivo. Assim
é um grupo abeliano.
Passo 8
Resumo do que já temos:
é um grupo abeliano (propriedade aditiva do anel verificada). Vamos agora às propriedades multiplicativas e à distributividade.
Passo 9
Associatividade de
:
Queremos mostrar
Calculando o lado esquerdo:
O lado direito:
Como
é associativa em
e
é associativa em
, os dois lados coincidem. Logo
é associativa.
Passo 10
Comutatividade de
:
porque
é comutativa em
e
é comutativa em
. Portanto
é comutativa.
Passo 11
Elemento neutro multiplicativo em
:
Proponho
. Verificação:
Isso usa que
e
são os neutros multiplicativos em
e
. Logo
é o neutro multiplicativo do produto.
Passo 12
Distributividade (esquerda e direita):
Queremos verificar que para quaisquer
valem
e a versão com distributividade à direita.
Calcule o lado esquerdo:
Calcule o lado direito:
Agora usamos distributividade em cada componente: em
,
distribui sobre
, então
Em
,
distribui sobre
, então
Portanto os componentes coincidem e a igualdade vetorial se mantém. A distributividade à direita é análoga (mesmo cálculo trocando posições). Logo
distribui sobre
.
Passo 13
Conclusão das propriedades:
Juntando os passos anteriores temos:
-
é um grupo abeliano; -
é associativa e comutativa; - existe elemento neutro multiplicativo
; -
distribui sobre .
Essas são exatamente as propriedades que definem um anel comutativo unitário. Logo
é um anel comutativo unitário, com operações e identidades dadas componente a componente como mostrado.
Resposta
neutro aditivo
e neutro multiplicativo
.