Sejam (A,+,. e ( B, *, T) ) dois ANÉIS COMUTATIVOS UNITÁRIOS. Mostrar que a terna ( A \times B, \square, \otimes ) também é um ANEL COMUTATIVO UNImARIO, as operações \square e \otimes no PRODVIO CARTESIANO A \times B sendo definidas por

Passo 1

O que nos deram:
  • Dois anéis comutativos unitários: A=(A,+,\cdot) e B=(B,*,T). Aqui eu estou assumindo, conforme o enunciado, que em A a operação aditiva é + e a multiplicativa é \cdot, e em B a operação aditiva é * e a multiplicativa é T.
  • Cada um desses anéis satisfaz todas as axiomas de anel comutativo unitário (grupo abeliano aditivo, multiplicação associativa e comutativa com elemento unidade, distributividade, etc.).
O que nos pedem:
  • Mostrar que a terna \bigl(A\times B,\square,\otimes\bigr) é também um anel comutativo unitário, onde as operações \square e \otimes no produto cartesiano A\times B são definidas componente a componente (vamos explicitar isso no passo seguinte).
Informações relevantes dadas (lista):
  • Em A: existe elemento neutro aditivo 0_A, inverso aditivo de a denotado -_A a, e neutro multiplicativo 1_A.
  • Em B: existe elemento neutro aditivo 0_B, inverso aditivo de b denotado -_B b, e neutro multiplicativo 1_B.
  • Assumo que as leis usuais (fechamento, associatividade, comutatividade do + e *; propriedades da multiplicação; distributividade) valem em cada componente.

Passo 2

Definição explícita das operações no produto cartesiano (isso é essencial):
(a_1,b_1)\square (a_2,b_2):=\bigl(a_1 + a_2,\; b_1 * b_2\bigr)
(a_1,b_1)\otimes (a_2,b_2):=\bigl(a_1\cdot a_2,\; b_1\;T\;b_2\bigr).
Explicação didática: estamos simplesmente fazendo as operações “componente a componente”: somamos as primeiras componentes usando a soma de A e somamos as segundas componentes usando a soma de B (que é chamada de *); idem para a multiplicação, usando \cdot em A e T em B.

Passo 3

Mostrar que \bigl(A\times B,\square\bigr) é um grupo abeliano (ou seja, grupo aditivo do anel):
Fechamento: sejam (a_1,b_1),(a_2,b_2)\in A\times B. Então, por definição,
(a_1,b_1)\square (a_2,b_2)=(a_1+a_2,\;b_1*b_2).
Como a_1+a_2\in A (fechamento de + em A) e b_1*b_2\in B (fechamento de * em B), segue que (a_1+a_2,b_1*b_2)\in A\times B. Logo há fechamento.

Passo 4

Associatividade de \square:
Queremos mostrar que
\bigl((a_1,b_1)\square (a_2,b_2)\bigr)\square (a_3,b_3) = (a_1,b_1)\square \bigl((a_2,b_2)\square (a_3,b_3)\bigr).
Calculando o lado esquerdo:
\bigl((a_1+a_2,\;b_1*b_2)\bigr)\square (a_3,b_3) = \bigl((a_1+a_2)+a_3,\;(b_1*b_2)*b_3\bigr).
Calculando o lado direito:
(a_1,b_1)\square \bigl((a_2+a_3,\;b_2*b_3)\bigr) = \bigl(a_1+(a_2+a_3),\; b_1*(b_2*b_3)\bigr).
Como + é associativa em A e * é associativa em B, temos (a_1+a_2)+a_3=a_1+(a_2+a_3) e (b_1*b_2)*b_3=b_1*(b_2*b_3). Portanto os dois lados coincidem, provando associatividade.

Passo 5

Comutatividade de \square:
(a_1,b_1)\square (a_2,b_2)=(a_1+a_2,\;b_1*b_2)=(a_2+a_1,\;b_2*b_1)=(a_2,b_2)\square (a_1,b_1),
porque + é comutativa em A e * é comutativa em B. Logo \square é comutativa.

Passo 6

Elemento neutro aditivo em A\times B:
Proponho 0_{A\times B}:=(0_A,0_B). Verificação:
(a,b)\square (0_A,0_B)=(a+0_A,\; b*0_B)=(a,\; b),
(0_A,0_B)\square (a,b)=(0_A+a,\;0_B*b)=(a,\; b).
As igualdades usam que 0_A e 0_B são os neutros aditivos respectivos. Logo (0_A,0_B) é o neutro de \square.

Passo 7

Inversos aditivos em A\times B:
Dado (a,b)\in A\times B, seja -_{A\times B}(a,b):=\bigl(-_A a,\; -_B b\bigr), onde -_A a é o inverso aditivo de a em A e -_B b é o inverso aditivo de b em B. Então
(a,b)\square \bigl(-_A a,\; -_B b\bigr)=(a+(-_A a),\; b* (-_B b))=(0_A,0_B).
Portanto todo elemento tem inverso aditivo. Assim \bigl(A\times B,\square\bigr) é um grupo abeliano.

Passo 8

Resumo do que já temos: \bigl(A\times B,\square\bigr) é um grupo abeliano (propriedade aditiva do anel verificada). Vamos agora às propriedades multiplicativas e à distributividade.

Passo 9

Associatividade de \otimes:
Queremos mostrar
\bigl((a_1,b_1)\otimes (a_2,b_2)\bigr)\otimes (a_3,b_3) = (a_1,b_1)\otimes \bigl((a_2,b_2)\otimes (a_3,b_3)\bigr).
Calculando o lado esquerdo:
\bigl((a_1\cdot a_2,\; b_1\;T\;b_2)\bigr)\otimes (a_3,b_3) = \bigl((a_1\cdot a_2)\cdot a_3,\; (b_1\;T\;b_2)\;T\;b_3\bigr).
O lado direito:
(a_1,b_1)\otimes \bigl((a_2\cdot a_3,\; b_2\;T\;b_3)\bigr) = \bigl(a_1\cdot (a_2\cdot a_3),\; b_1\;T\;(b_2\;T\;b_3)\bigr).
Como \cdot é associativa em A e T é associativa em B, os dois lados coincidem. Logo \otimes é associativa.

Passo 10

Comutatividade de \otimes:
(a_1,b_1)\otimes (a_2,b_2)=(a_1\cdot a_2,\; b_1\;T\;b_2)=(a_2\cdot a_1,\; b_2\;T\;b_1)=(a_2,b_2)\otimes (a_1,b_1),
porque \cdot é comutativa em A e T é comutativa em B. Portanto \otimes é comutativa.

Passo 11

Elemento neutro multiplicativo em A\times B:
Proponho 1_{A\times B}:=(1_A,1_B). Verificação:
(a,b)\otimes (1_A,1_B)=(a\cdot 1_A,\; b\;T\;1_B)=(a,\; b),
(1_A,1_B)\otimes (a,b)=(1_A\cdot a,\;1_B\;T\;b)=(a,\; b).
Isso usa que 1_A e 1_B são os neutros multiplicativos em A e B. Logo (1_A,1_B) é o neutro multiplicativo do produto.

Passo 12

Distributividade (esquerda e direita):
Queremos verificar que para quaisquer (a_1,b_1),(a_2,b_2),(a_3,b_3)\in A\times B valem
(a_1,b_1)\otimes\bigl((a_2,b_2)\square (a_3,b_3)\bigr) = (a_1,b_1)\otimes (a_2,b_2)\;\square\;(a_1,b_1)\otimes (a_3,b_3)
e a versão com distributividade à direita.
Calcule o lado esquerdo:
(a_1,b_1)\otimes\bigl(a_2+a_3,\; b_2*b_3\bigr) = \bigl(a_1\cdot (a_2+a_3),\; b_1\;T\;(b_2*b_3)\bigr).
Calcule o lado direito:
\bigl(a_1\cdot a_2,\; b_1\;T\;b_2\bigr)\square \bigl(a_1\cdot a_3,\; b_1\;T\;b_3\bigr) = \bigl(a_1\cdot a_2 + a_1\cdot a_3,\; (b_1\;T\;b_2)*(b_1\;T\;b_3)\bigr).
Agora usamos distributividade em cada componente: em A, \cdot distribui sobre +, então
a_1\cdot (a_2+a_3)=a_1\cdot a_2 + a_1\cdot a_3.
Em B, T distribui sobre *, então
b_1\;T\;(b_2*b_3)=(b_1\;T\;b_2)*(b_1\;T\;b_3).
Portanto os componentes coincidem e a igualdade vetorial se mantém. A distributividade à direita é análoga (mesmo cálculo trocando posições). Logo \otimes distribui sobre \square.

Passo 13

Conclusão das propriedades:
Juntando os passos anteriores temos:
  • \bigl(A\times B,\square\bigr) é um grupo abeliano;
  • \otimes é associativa e comutativa;
  • existe elemento neutro multiplicativo (1_A,1_B);
  • \otimes distribui sobre \square.
Essas são exatamente as propriedades que definem um anel comutativo unitário. Logo \bigl(A\times B,\square,\otimes\bigr) é um anel comutativo unitário, com operações e identidades dadas componente a componente como mostrado.

Resposta

\bigl(A\times B,\square,\otimes\bigr) é um anel comutativo unitário, com
(a_1,b_1)\square (a_2,b_2)=(a_1+a_2,\;b_1*b_2), \qquad (a_1,b_1)\otimes (a_2,b_2)=(a_1\cdot a_2,\; b_1\;T\;b_2),
neutro aditivo (0_A,0_B) e neutro multiplicativo (1_A,1_B).

Exercícios relacionados