Seja o conjunto
. Mostrar que a terna
, .) é um ANEL COMUTATIVO com ELEMENTO UNIDADE.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
com as operações usuais de soma e produto (herdadas dos números reais). A tarefa é mostrar que a terna
é um anel comutativo com elemento unidade.
Informações relevantes:
- Qualquer elemento de
tem a forma com . - As operações são a soma e o produto usuais (como em
). - Precisamos verificar as propriedades que definem um anel comutativo com unidade (ver passos seguintes).
Passo 2
Fechamento em relação à adição (ou seja, soma de dois elementos fica no conjunto).
Tome dois elementos genéricos
Tome dois elementos genéricos
com
. Calcule a soma:
Agrupando as partes racionais e as multiplicativas de
obtemos
Como
e
(os inteiros são fechados sob adição), a soma tem a forma
com
. Logo
. Portanto há fechamento para a adição.
Passo 3
Existência do elemento identidade aditivo (o zero).
Mostre qual é o zero: considere . Para qualquer
,
Mostre qual é o zero: considere
Portanto
é o elemento neutro aditivo e pertence a
.
Passo 4
Existência de inversos aditivos.
Dado com
, considere
. Como
, temos
. E
Dado
logo
é mesmo o inverso aditivo de
. Assim os inversos aditivos existem em
.
Passo 5
Associatividade e comutatividade da adição.
A soma é feita componente a componente: . A associatividade e a comutatividade seguem das mesmas propriedades da adição em
(ou em
): para quaisquer
,
A soma é feita componente a componente:
e
porque componente a componente todos os somatórios são associativos e comutativos nos inteiros. Portanto a estrutura aditiva forma um grupo abeliano.
Passo 6
Fechamento em relação à multiplicação.
Calcule o produto de dois elementos genéricos e
:
Calcule o produto de dois elementos genéricos
Expandindo e usando
obtemos
Como
e
(fechamento dos inteiros sob adição e multiplicação), segue que
tem a forma
com
. Portanto
: há fechamento para a multiplicação.
Passo 7
Comutatividade da multiplicação.
Usando a expressão do passo anterior,
Usando a expressão do passo anterior,
Se trocarmos os papéis de
com
obtemos
Como
,
,
e
(multiplicação nos inteiros é comutativa), as duas expressões coincidem. Logo a multiplicação em
é comutativa.
Passo 8
Associatividade da multiplicação.
As operações são as mesmas de restritas a
. Como a multiplicação em
é associativa, para quaisquer
vale
As operações são as mesmas de
Podemos aceitar isso porque já mostramos fechamento em multiplicação: o produto de elementos de
permanece em
, então a associatividade herdada de
vale dentro do subconjunto. Se quiser, pode verificar explicitamente fazendo as contas com coeficientes, mas a ideia é essa: associatividade de
implica associatividade em qualquer subconjunto fechado.
Passo 9
Existência de elemento unidade multiplicativa.
Mostre que é unidade. Para qualquer
,
Mostre que
Logo
é o elemento unidade da multiplicação.
Passo 10
Distributividade (multiplicação distribui sobre a adição).
Tome ,
e
. Primeiro calcule
:
Tome
Multiplicando por
,
Expandindo e usando
obtemos
Agrupando coeficientes racionais e de
e simplificando
, chegamos a
Agora calcule
e
separadamente e some:
que coincide exatamente com a expressão encontrada para
. Portanto a distributividade vale.
Passo 11
Resumo e conclusão.
Reunindo os resultados:
Reunindo os resultados:
- Aditivamente temos um grupo abeliano (fechamento, identidade
, inversos, associatividade e comutatividade). - A multiplicação é fechada, associativa (herdada de
), comutativa e possui elemento unidade . - A multiplicação distribui sobre a adição.
Essas são exatamente as propriedades que definem um anel comutativo com unidade. Portanto
é um anel comutativo com elemento unidade.
Resposta
O conjunto
com as operações usuais é um anel comutativo com unidade (unidade
).