Seja o conjunto Z(\sqrt{2})=\{a+b \sqrt{2} \mid a, b \in Z\}. Mostrar que a terna (Z(\sqrt{2}),+, .) é um ANEL COMUTATIVO com ELEMENTO UNIDADE.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto \mathbb{Z}(\sqrt{2}) = \{a+b\sqrt{2} \mid a,b\in\mathbb{Z}\} com as operações usuais de soma e produto (herdadas dos números reais). A tarefa é mostrar que a terna (\mathbb{Z}(\sqrt{2}),+,\cdot) é um anel comutativo com elemento unidade.
Informações relevantes:
  • Qualquer elemento de \mathbb{Z}(\sqrt{2}) tem a forma a+b\sqrt{2} com a,b\in\mathbb{Z}.
  • As operações são a soma e o produto usuais (como em \mathbb{R}).
  • Precisamos verificar as propriedades que definem um anel comutativo com unidade (ver passos seguintes).

Passo 2

Fechamento em relação à adição (ou seja, soma de dois elementos fica no conjunto).
Tome dois elementos genéricos
x = a+b\sqrt{2},\qquad y = c+d\sqrt{2},
com a,b,c,d\in\mathbb{Z}. Calcule a soma:
x+y = (a+b\sqrt{2}) + (c+d\sqrt{2}).
Agrupando as partes racionais e as multiplicativas de \sqrt{2} obtemos
x+y = (a+c) + (b+d)\sqrt{2}.
Como a+c\in\mathbb{Z} e b+d\in\mathbb{Z} (os inteiros são fechados sob adição), a soma tem a forma A+B\sqrt{2} com A,B\in\mathbb{Z}. Logo x+y\in\mathbb{Z}(\sqrt{2}). Portanto há fechamento para a adição.

Passo 3

Existência do elemento identidade aditivo (o zero).
Mostre qual é o zero: considere 0_{\mathbb{Z}(\sqrt{2})}=0+0\sqrt{2}. Para qualquer x=a+b\sqrt{2},
x + (0+0\sqrt{2}) = (a+0) + (b+0)\sqrt{2} = a+b\sqrt{2} = x.
Portanto 0+0\sqrt{2} é o elemento neutro aditivo e pertence a \mathbb{Z}(\sqrt{2}).

Passo 4

Existência de inversos aditivos.
Dado x=a+b\sqrt{2} com a,b\in\mathbb{Z}, considere -x = (-a)+(-b)\sqrt{2}. Como -a,-b\in\mathbb{Z}, temos -x\in\mathbb{Z}(\sqrt{2}). E
x + (-x) = (a-a) + (b-b)\sqrt{2} = 0+0\sqrt{2},
logo -x é mesmo o inverso aditivo de x. Assim os inversos aditivos existem em \mathbb{Z}(\sqrt{2}).

Passo 5

Associatividade e comutatividade da adição.
A soma é feita componente a componente: (a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2})=(a+c)+(b+d)\sqrt{2}. A associatividade e a comutatividade seguem das mesmas propriedades da adição em \mathbb{Z} (ou em \mathbb{R}): para quaisquer x,y,z\in\mathbb{Z}(\sqrt{2}),
x+(y+z) = (x+y)+z
e
x+y = y+x,
porque componente a componente todos os somatórios são associativos e comutativos nos inteiros. Portanto a estrutura aditiva forma um grupo abeliano.

Passo 6

Fechamento em relação à multiplicação.
Calcule o produto de dois elementos genéricos x=a+b\sqrt{2} e y=c+d\sqrt{2}:
xy = (a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2}).
Expandindo e usando (\sqrt{2})^2 = 2 obtemos
xy = ac + ad\sqrt{2} + bc\sqrt{2} + bd(\sqrt{2})^2 = (ac + 2bd) + (ad+bc)\sqrt{2}.
Como ac+2bd\in\mathbb{Z} e ad+bc\in\mathbb{Z} (fechamento dos inteiros sob adição e multiplicação), segue que xy tem a forma A+B\sqrt{2} com A,B\in\mathbb{Z}. Portanto xy\in\mathbb{Z}(\sqrt{2}): há fechamento para a multiplicação.

Passo 7

Comutatividade da multiplicação.
Usando a expressão do passo anterior,
(a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2}) = (ac + 2bd) + (ad+bc)\sqrt{2}.
Se trocarmos os papéis de a,b com c,d obtemos
(c+d\sqrt{2})(a+b\sqrt{2}) = (ca + 2db) + (cb+da)\sqrt{2}.
Como ac=ca, bd=db, ad=da e bc=cb (multiplicação nos inteiros é comutativa), as duas expressões coincidem. Logo a multiplicação em \mathbb{Z}(\sqrt{2}) é comutativa.

Passo 8

Associatividade da multiplicação.
As operações são as mesmas de \mathbb{R} restritas a \mathbb{Z}(\sqrt{2}). Como a multiplicação em \mathbb{R} é associativa, para quaisquer x,y,z\in\mathbb{Z}(\sqrt{2}) vale
(xy)z = x(yz).
Podemos aceitar isso porque já mostramos fechamento em multiplicação: o produto de elementos de \mathbb{Z}(\sqrt{2}) permanece em \mathbb{Z}(\sqrt{2}), então a associatividade herdada de \mathbb{R} vale dentro do subconjunto. Se quiser, pode verificar explicitamente fazendo as contas com coeficientes, mas a ideia é essa: associatividade de \mathbb{R} implica associatividade em qualquer subconjunto fechado.

Passo 9

Existência de elemento unidade multiplicativa.
Mostre que 1_{\mathbb{Z}(\sqrt{2})}=1+0\sqrt{2} é unidade. Para qualquer x=a+b\sqrt{2},
(1+0\sqrt{2})(a+b\sqrt{2}) = 1\cdot a + 1\cdot b\sqrt{2} = a+b\sqrt{2} = x.
Logo 1+0\sqrt{2}\in\mathbb{Z}(\sqrt{2}) é o elemento unidade da multiplicação.

Passo 10

Distributividade (multiplicação distribui sobre a adição).
Tome x=a+b\sqrt{2}, y=c+d\sqrt{2} e z=e+f\sqrt{2}. Primeiro calcule y+z:
y+z = (c+e) + (d+f)\sqrt{2}.
Multiplicando por x,
x(y+z) = (a+b\sqrt{2})\big((c+e)+(d+f)\sqrt{2}\big).
Expandindo e usando (\sqrt{2})^2=2 obtemos
x(y+z) = a(c+e) + a(d+f)\sqrt{2} + b\sqrt{2}(c+e) + b\sqrt{2}(d+f)\sqrt{2}.
Agrupando coeficientes racionais e de \sqrt{2} e simplificando b\sqrt{2}\cdot(d+f)\sqrt{2}=b(d+f)2, chegamos a
x(y+z) = \big(ac+ae + 2bd+2bf\big) + \big(ad+af+bc+be\big)\sqrt{2}.
Agora calcule xy e xz separadamente e some:
xy = (ac+2bd) + (ad+bc)\sqrt{2},
xz = (ae+2bf) + (af+be)\sqrt{2},
xy + xz = (ac+2bd + ae+2bf) + (ad+bc + af+be)\sqrt{2},
que coincide exatamente com a expressão encontrada para x(y+z). Portanto a distributividade vale.

Passo 11

Resumo e conclusão.
Reunindo os resultados:
  • Aditivamente temos um grupo abeliano (fechamento, identidade 0+0\sqrt{2}, inversos, associatividade e comutatividade).
  • A multiplicação é fechada, associativa (herdada de \mathbb{R}), comutativa e possui elemento unidade 1+0\sqrt{2}.
  • A multiplicação distribui sobre a adição.
Essas são exatamente as propriedades que definem um anel comutativo com unidade. Portanto (\mathbb{Z}(\sqrt{2}),+,\cdot) é um anel comutativo com elemento unidade.

Resposta

O conjunto \mathbb{Z}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Z}\} com as operações usuais é um anel comutativo com unidade (unidade 1+0\sqrt{2}).

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