Mostrar que a terna (
) é um ANEL COMUTATIVO UNITÁRIO, as operações * e
em
sendo definidas por
Passo 1
O enunciado dá as operações em
:
O que se pede: mostrar que a terna
é um anel comutativo unitário. Ou seja, preciso verificar todas as propriedades necessárias: que
é um grupo abeliano (aditivo), que
é uma operação fechada e associativa, que
distribui sobre
(ambos os lados), que
é comutativa e que existe elemento identidade multiplicativa em
.
Passo 2
Verificar que
é um grupo abeliano (aditivo).
-
Fechamento: se
então e , logo . Assim fecha em . -
Associatividade de
: para ,
Portanto
, ou seja,
é associativa (porque soma de reais é associativa).
- Elemento neutro aditivo:
satisfaz
e simetricamente à direita. Logo
é o elemento neutro.
- Inverso aditivo: para
o inverso é porque
- Comutatividade de
: claramente
Conclusão deste passo:
é um grupo abeliano.
Passo 3
Fechamento e comutatividade da multiplicação
.
-
Fechamento: se
então e , logo . Portanto fecha em . -
Comutatividade de
: calcule os dois sentidos:
Como na
vale
,
,
,
, temos igualdade componente a componente, portanto
Logo
é comutativa.
Passo 4
Associatividade de
. Vamos verificar que para quaisquer
vale
Calcule o lado esquerdo. Primeiro
Então
Aplicando a definição de
,
Simplificando (usando associatividade e comutatividade na
) obtemos
Agora o lado direito. Primeiro
Então
Aplicando definição de
,
Expandindo e reagrupando (novamente usando as propriedades algébricas de
) obtemos
Comparando LHS e RHS vemos que as componentes coincidem exatamente (mesmos termos, possivelmente em ordem diferente). Portanto
é associativa.
Passo 5
Elemento identidade multiplicativa (unidade). Procuro
tal que, para todo
,
Use a definição:
Queremos que isso seja
. Assim devem valer as equações em
:
Da primeira segue
(válido para todo
). Substituindo
na segunda:
Cancelando
em ambos os lados obtemos
para todo
. Tomando
dá
. Logo a unidade é
. Verificação direta:
e pelo fato de
ser comutativa também
.
Passo 6
Distributividade de
sobre
. Preciso mostrar as duas igualdades:
para quaisquer
.
Calcule o primeiro:
. Então, usando definição de
,
De forma completa,
Expandindo,
Agora calcule
e
e some com
:
Somando com
,
que é exatamente o resultado anterior. Assim a distributividade à esquerda vale.
Como
é comutativa, a distributividade à direita também segue pelo mesmo cálculo (ou faz-se o cálculo simétrico), isto é,
Passo 7
Resumo das verificações e observações metodológicas.
- Foi mostrado que
é um grupo abeliano: fechamento, associatividade, elemento neutro , inversos e comutatividade foram verificadas. - Foi mostrado que
é fechada, associativa e comutativa. - Verificou-se que
distribui à esquerda e à direita sobre . - Encontrou-se unidade multiplicativa
, que efetivamente satisfaz para todo .
Tudo acima usa apenas as propriedades usuais da soma e multiplicação em
(associatividade, comutatividade, distributividade), aplicadas componente a componente.
Portanto todas as condições exigidas para que
seja um anel comutativo unitário estão satisfeitas.
Resposta
Sim.
é um anel comutativo unitário; a unidade multiplicativa é
.