Mostrar que a terna ( R^{2}, *, T ) é um ANEL COMUTATIVO UNITÁRIO, as operações * e T em R^{2} sendo definidas por
\begin{aligned} & (a, b) *(c, d)=(a+c, b+d) \\\ & (a, b) T(c, d)=(a c, a d+b c+b d) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá as operações em \mathbb{R}^{2}:
(a,b)*(c,d)=(a+c,\;b+d)
(a,b)\,T\,(c,d)=(ac,\;ad+bc+bd)
O que se pede: mostrar que a terna (\mathbb{R}^{2},*,T) é um anel comutativo unitário. Ou seja, preciso verificar todas as propriedades necessárias: que (\mathbb{R}^{2},*) é um grupo abeliano (aditivo), que T é uma operação fechada e associativa, que T distribui sobre * (ambos os lados), que T é comutativa e que existe elemento identidade multiplicativa em \mathbb{R}^{2}.

Passo 2

Verificar que (\mathbb{R}^{2},*) é um grupo abeliano (aditivo).
  • Fechamento: se (a,b),(c,d)\in\mathbb{R}^{2} então a+c\in\mathbb{R} e b+d\in\mathbb{R}, logo (a+c,b+d)\in\mathbb{R}^{2}. Assim * fecha em \mathbb{R}^{2}.
  • Associatividade de *: para (a,b),(c,d),(e,f)\in\mathbb{R}^{2},
\big((a,b)*(c,d)\big)*(e,f)=(a+c,b+d)*(e,f)=(a+c+e,\;b+d+f)
(a,b)*\big((c,d)*(e,f)\big)=(a,b)*(c+e,d+f)=(a+c+e,\;b+d+f)
Portanto \big((a,b)*(c,d)\big)*(e,f)=(a,b)*\big((c,d)*(e,f)\big), ou seja, * é associativa (porque soma de reais é associativa).
  • Elemento neutro aditivo: (0,0) satisfaz
(a,b)*(0,0)=(a+0,b+0)=(a,b)
e simetricamente à direita. Logo (0,0) é o elemento neutro.
  • Inverso aditivo: para (a,b)\in\mathbb{R}^{2} o inverso é (-a,-b) porque
(a,b)*(-a,-b)=(a-a,b-b)=(0,0).
  • Comutatividade de *: claramente
(a,b)*(c,d)=(a+c,b+d)=(c+a,d+b)=(c,d)*(a,b).
Conclusão deste passo: (\mathbb{R}^{2},*) é um grupo abeliano.

Passo 3

Fechamento e comutatividade da multiplicação T.
  • Fechamento: se (a,b),(c,d)\in\mathbb{R}^{2} então ac\in\mathbb{R} e ad+bc+bd\in\mathbb{R}, logo (ac,\;ad+bc+bd)\in\mathbb{R}^{2}. Portanto T fecha em \mathbb{R}^{2}.
  • Comutatividade de T: calcule os dois sentidos:
(a,b)\,T\,(c,d)=(ac,\;ad+bc+bd)
(c,d)\,T\,(a,b)=(ca,\;cb+da+db).
Como na \mathbb{R} vale ac=ca, ad=da, bc=cb, bd=db, temos igualdade componente a componente, portanto
(a,b)\,T\,(c,d)=(c,d)\,T\,(a,b).
Logo T é comutativa.

Passo 4

Associatividade de T. Vamos verificar que para quaisquer (a,b),(c,d),(e,f)\in\mathbb{R}^{2} vale
\big((a,b)\,T\,(c,d)\big)\,T\,(e,f)=(a,b)\,T\,\big((c,d)\,T\,(e,f)\big).
Calcule o lado esquerdo. Primeiro
(a,b)\,T\,(c,d)=(ac,\;ad+bc+bd).
Então
\big((a,b)\,T\,(c,d)\big)\,T\,(e,f)=(ac,\;ad+bc+bd)\,T\,(e,f).
Aplicando a definição de T,
\big((a,b)\,T\,(c,d)\big)\,T\,(e,f)=\big((ac)e,\; (ac)f + (ad+bc+bd)e + (ad+bc+bd)f\big).
Simplificando (usando associatividade e comutatividade na \mathbb{R}) obtemos
\text{LHS}=(a(ce),\;acf + ade + bce + bde + adf + bcf + bdf).
Agora o lado direito. Primeiro
(c,d)\,T\,(e,f)=(ce,\;cf+de+df).
Então
(a,b)\,T\,\big((c,d)\,T\,(e,f)\big)=(a,b)\,T\,(ce,\;cf+de+df).
Aplicando definição de T,
\text{RHS}=(a(ce),\;a(cf+de+df) + b(ce) + b(cf+de+df)).
Expandindo e reagrupando (novamente usando as propriedades algébricas de \mathbb{R}) obtemos
\text{RHS}=(a(ce),\;acf + ade + adf + bce + bcf + bde + bdf).
Comparando LHS e RHS vemos que as componentes coincidem exatamente (mesmos termos, possivelmente em ordem diferente). Portanto T é associativa.

Passo 5

Elemento identidade multiplicativa (unidade). Procuro (u,v)\in\mathbb{R}^{2} tal que, para todo (a,b),
(u,v)\,T\,(a,b)=(a,b).
Use a definição:
(u,v)\,T\,(a,b)=(ua,\;ub + va + vb).
Queremos que isso seja (a,b). Assim devem valer as equações em \mathbb{R}:
ua=a,\qquad ub+va+vb=b.
Da primeira segue u=1 (válido para todo a). Substituindo u=1 na segunda:
1\cdot b + v a + v b = b \quad\Longrightarrow\quad b + v a + v b = b.
Cancelando b em ambos os lados obtemos v a + v b =0 para todo a,b. Tomando a=1,b=0 v=0. Logo a unidade é (1,0). Verificação direta:
(1,0)\,T\,(a,b)=(1\cdot a,\;1\cdot b +0\cdot a +0\cdot b)=(a,b),
e pelo fato de T ser comutativa também (a,b)\,T\,(1,0)=(a,b).

Passo 6

Distributividade de T sobre *. Preciso mostrar as duas igualdades:
(x*y)\,T\,z = x\,T\,z \; *\; y\,T\,z \qquad\text{e}\qquad z\,T\,(x*y)= z\,T\,x \; *\; z\,T\,y
para quaisquer x=(a,b),\;y=(c,d),\;z=(e,f)\in\mathbb{R}^{2}.
Calcule o primeiro: x*y=(a+c,\;b+d). Então, usando definição de T,
(x*y)\,T\,z=(a+c,e)\\ \text{primeira componente? Cuidado: use a definição completa.}çã
De forma completa,
(x*y)\,T\,z=\big((a+c)e,\; (a+c)f + (b+d)e + (b+d)f\big).
Expandindo,
(x*y)\,T\,z=\big(ae+ce,\; af+cf+be+de+bf+df\big).
Agora calcule x\,T\,z e y\,T\,z e some com *:
x\,T\,z=(ae,\;af+be+bf),
y\,T\,z=(ce,\;cf+de+df).
Somando com *,
x\,T\,z\; *\; y\,T\,z=(ae+ce,\; af+cf+be+de+bf+df),
que é exatamente o resultado anterior. Assim a distributividade à esquerda vale.
Como T é comutativa, a distributividade à direita também segue pelo mesmo cálculo (ou faz-se o cálculo simétrico), isto é,
z\,T\,(x*y)=z\,T\,x \; *\; z\,T\,y.

Passo 7

Resumo das verificações e observações metodológicas.
  • Foi mostrado que (\mathbb{R}^{2},*) é um grupo abeliano: fechamento, associatividade, elemento neutro (0,0), inversos e comutatividade foram verificadas.
  • Foi mostrado que T é fechada, associativa e comutativa.
  • Verificou-se que T distribui à esquerda e à direita sobre *.
  • Encontrou-se unidade multiplicativa (1,0), que efetivamente satisfaz (1,0)\,T\,(a,b)=(a,b) para todo (a,b).
Tudo acima usa apenas as propriedades usuais da soma e multiplicação em \mathbb{R} (associatividade, comutatividade, distributividade), aplicadas componente a componente.
Portanto todas as condições exigidas para que (\mathbb{R}^{2},*,T) seja um anel comutativo unitário estão satisfeitas.

Resposta

Sim. (\mathbb{R}^{2},*,T) é um anel comutativo unitário; a unidade multiplicativa é (1,0).

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