O anel é \mathbb{Z}_6=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5}\}.
A operação \overline{a}+\overline{b} e \overline{a}\cdot\overline{b} são feitas módulo 6.
O objetivo é listar todas as classes \overline{x}\in\mathbb{Z}_6 que tornam a igualdade verdadeira.
Passo 2
Escolha do método: como \mathbb{Z}_6 tem apenas 6 elementos, duas abordagens simples funcionam bem:
completar o quadrado para reduzir a equação a uma forma y^{2}=\overline{c} e então procurar quais resíduos são quadrados, ou
testar diretamente cada \overline{x}\in\mathbb{Z}_6.
Vou combinar as duas: primeiro completar o quadrado (para aprender a técnica), depois listar todos os quadrados em \mathbb{Z}_6 e concluir, com verificação direta no final.
Passo 3
Completar o quadrado na expressão x^{2}+2x+4 (todo cálculo em módulo 6):
x^{2}+2x+4=(x+1)^{2}+3,
porque (x+1)^{2}=x^{2}+2x+1, então somando 3 dá a expressão original. Assim a equação vira
Desses, \overline{3} é obtido por \overline{3}^{2}. Observa-se que \overline{3} é seu próprio negativo (\overline{3}=-\overline{3} em \mathbb{Z}_6), então não há outro representante distinto cujo quadrado dê \overline{3}.
Passo 5
Como \overline{y}^{2}=\overline{3} só para \overline{y}=\overline{3}, temos