Resolver a equação (\bar{x})^{2}+2 \cdot \bar{x}+\overline{4}=\overline{0} no anel (2 /(6),+,. ) .

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todas as classes de equivalência \overline{x} no anel (\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},+,\cdot) que satisfazem a equação
(\overline{x})^{2}+2\cdot\overline{x}+\overline{4}=\overline{0}.
Informações dadas (explicitadas):
  • O anel é \mathbb{Z}_6=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4},\overline{5}\}.
  • A operação \overline{a}+\overline{b} e \overline{a}\cdot\overline{b} são feitas módulo 6.
  • O objetivo é listar todas as classes \overline{x}\in\mathbb{Z}_6 que tornam a igualdade verdadeira.

Passo 2

Escolha do método: como \mathbb{Z}_6 tem apenas 6 elementos, duas abordagens simples funcionam bem:
  • completar o quadrado para reduzir a equação a uma forma y^{2}=\overline{c} e então procurar quais resíduos são quadrados, ou
  • testar diretamente cada \overline{x}\in\mathbb{Z}_6.
Vou combinar as duas: primeiro completar o quadrado (para aprender a técnica), depois listar todos os quadrados em \mathbb{Z}_6 e concluir, com verificação direta no final.

Passo 3

Completar o quadrado na expressão x^{2}+2x+4 (todo cálculo em módulo 6):
x^{2}+2x+4=(x+1)^{2}+3,
porque (x+1)^{2}=x^{2}+2x+1, então somando 3 dá a expressão original. Assim a equação vira
(\overline{x}+\overline{1})^{2}+\overline{3}=\overline{0}\quad\Longleftrightarrow\quad(\overline{x}+\overline{1})^{2}=\overline{3}.
Definindo \overline{y}=\overline{x}+\overline{1}, precisamos achar \overline{y}\in\mathbb{Z}_6 tais que
\overline{y}^{2}=\overline{3}.

Passo 4

Calcular os quadrados de todas as classes em \mathbb{Z}_6 (mostrando cada cálculo):
\begin{aligned} \overline{0}^{2}&=\overline{0},\\\ \overline{1}^{2}&=\overline{1},\\\ \overline{2}^{2}&=\overline{4},\\\ \overline{3}^{2}&=\overline{9}=\overline{3},\\\ \overline{4}^{2}&=\overline{16}=\overline{4},\\\ \overline{5}^{2}&=\overline{25}=\overline{1}. \end{aligned}
Portanto o conjunto de resíduos quadrados em \mathbb{Z}_6 é
\{\overline{0},\overline{1},\overline{3},\overline{4}\}.
Desses, \overline{3} é obtido por \overline{3}^{2}. Observa-se que \overline{3} é seu próprio negativo ( \overline{3}=-\overline{3} em \mathbb{Z}_6), então não há outro representante distinto cujo quadrado dê \overline{3}.

Passo 5

Como \overline{y}^{2}=\overline{3} só para \overline{y}=\overline{3}, temos
\overline{x}+\overline{1}=\overline{3}\quad\Longrightarrow\quad\overline{x}=\overline{3}-\overline{1}=\overline{2}.
Assim a única solução candidata é \overline{x}=\overline{2}.

Passo 6

Verificação direta substituindo \overline{x}=\overline{2} na equação original:
\overline{2}^{2}+2\cdot\overline{2}+\overline{4}=\overline{4}+\overline{4}+\overline{4}=\overline{12}=\overline{0},
já que 12\equiv 0\pmod{6}. Logo \overline{2} satisfaz a equação.

Passo 7

Para ter certeza de que não existe outra solução, pode-se checar os valores da expressão x^{2}+2x+4 para todos os x (módulo 6):
\begin{aligned} x=\overline{0}:&\quad \overline{0}+\overline{0}+\overline{4}=\overline{4},\\\ x=\overline{1}:&\quad \overline{1}+\overline{2}+\overline{4}=\overline{7}=\overline{1},\\\ x=\overline{2}:&\quad \overline{4}+\overline{4}+\overline{4}=\overline{12}=\overline{0},\\\ x=\overline{3}:&\quad \overline{3}+\overline{6}+\overline{4}=\overline{13}=\overline{1},\\\ x=\overline{4}:&\quad \overline{4}+\overline{8}+\overline{4}=\overline{16}=\overline{4},\\\ x=\overline{5}:&\quad \overline{1}+\overline{10}+\overline{4}=\overline{15}=\overline{3}. \end{aligned}
Apenas para \overline{x}=\overline{2} o valor é \overline{0}. Logo não há outras soluções.

Resposta

\overline{2}

Exercícios relacionados