Seja o anel (Z/(30), +, .) das classes residuais módulo 30. Determinar:
(\overline{7})^{-1},(\overline{11})^{-1} e (\overline{26})^{-1}

Passo 1

O enunciado dá o anel das classes residuais módulo 30, isto é o conjunto \mathbb{Z}/30\mathbb{Z}=\{\overline{0},\overline{1},\dots,\overline{29}\} com adição e multiplicação módulo 30. Pede para determinar as inversas multiplicativas (quando existirem) de:
\overline{7}, \overline{11} e \overline{26}.
Informações relevantes que usaremos:
  • A inversa multiplicativa de uma classe \overline{a} (se existir) é uma classe \overline{x} tal que
\overline{a}\cdot\overline{x}=\overline{1},
ou seja, numericamente,
a x \equiv 1 \pmod{30}.
  • Um elemento \overline{a} é invertível em \mathbb{Z}/30\mathbb{Z} se, e somente se, \gcd(a,30)=1.

Passo 2

Verificar quais elementos são invertíveis calculando os \gcd's.
Calcular \gcd(7,30):
30 = 4\cdot 7 + 2,\qquad 7 = 3\cdot 2 + 1,\qquad 2 = 2\cdot 1 + 0,
logo \gcd(7,30)=1. Portanto \overline{7} é invertível.
Calcular \gcd(11,30):
30 = 2\cdot 11 + 8,\qquad 11 = 1\cdot 8 + 3,\qquad 8 = 2\cdot 3 + 2,\qquad 3 = 1\cdot 2 + 1,\qquad 2 = 2\cdot 1 + 0,
logo \gcd(11,30)=1. Portanto \overline{11} é invertível.
Calcular \gcd(26,30):
\gcd(26,30)=\gcd(26,30-26)=\gcd(26,4)=\gcd(4,2)=2.
Logo \gcd(26,30)=2\neq 1. Portanto \overline{26} NÃO é invertível em \mathbb{Z}/30\mathbb{Z}.

Passo 3

Encontrar a inversa de \overline{7} usando o algoritmo extendido de Euclides (produz uma combinação linear 7x+30y=1).
A partir da divisão já escrita:
30 = 4\cdot 7 + 2,
7 = 3\cdot 2 + 1.
Voltando para expressar 1 como combinação linear de 7 e 30:
1 = 7 - 3\cdot 2.
Substituir 2 por 30-4\cdot 7:
1 = 7 - 3\cdot(30 - 4\cdot 7) = 7 - 3\cdot 30 + 12\cdot 7 = 13\cdot 7 - 3\cdot 30.
Daí obtém-se a combinação 13\cdot 7 + (-3)\cdot 30 = 1. Isso mostra que x=13 é solução da congruência 7x\equiv 1\pmod{30}. Portanto a inversa de \overline{7} é \overline{13}.
Verificação rápida:
7\cdot 13 = 91 \equiv 1 \pmod{30}
pois 91-1=90 é múltiplo de 30.

Passo 4

Encontrar a inversa de \overline{11}. Podemos usar o algoritmo extendido de Euclides ou tentar um palpite inteligente.
Usando o algoritmo (já vimos as divisões em Passo 2), a volta das substituições deu:
1 = 11\cdot 11 - 4\cdot 30
(pode-se verificar pelas substituições detalhadas do algoritmo). Assim x=11 satisfaz 11x\equiv 1\pmod{30}. Logo a inversa de \overline{11} é \overline{11} — ou seja, \overline{11} é o seu próprio inverso.
Verificação direta:
11\cdot 11 = 121 \equiv 1 \pmod{30}
pois 121-1=120 é múltiplo de 30.

Passo 5

Explicar por que \overline{26} não tem inversa.
Como calculado no Passo 2, \gcd(26,30)=2. Se existisse x tal que 26x\equiv 1\pmod{30}, então teria-se 26x-30y=1 para algum inteiro y. O lado esquerdo é múltiplo de \gcd(26,30)=2, logo seria par, mas o lado direito é 1, ímpar: contradição. Portanto não existe tal x. Conclusão: \overline{26} não é invertível em \mathbb{Z}/30\mathbb{Z}.

Resposta

\,(\overline{7})^{-1}=\overline{13}\n
\,(\overline{11})^{-1}=\overline{11}\n
\,(\overline{26})^{-1} não existe (não é invertível).

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