Seja o anel (Z/(30), +, .) das classes residuais módulo 30. Determinar: (\overline{7})^{-1},(\overline{11})^{-1} e (\overline{26})^{-1}
Passo 1
O enunciado dá o anel das classes residuais módulo 30, isto é o conjunto \mathbb{Z}/30\mathbb{Z}=\{\overline{0},\overline{1},\dots,\overline{29}\} com adição e multiplicação módulo 30. Pede para determinar as inversas multiplicativas (quando existirem) de: \overline{7}, \overline{11} e \overline{26}.
Informações relevantes que usaremos:
A inversa multiplicativa de uma classe \overline{a} (se existir) é uma classe \overline{x} tal que
\overline{a}\cdot\overline{x}=\overline{1},
ou seja, numericamente,
a x \equiv 1 \pmod{30}.
Um elemento \overline{a} é invertível em \mathbb{Z}/30\mathbb{Z} se, e somente se, \gcd(a,30)=1.
Passo 2
Verificar quais elementos são invertíveis calculando os \gcd's.
Daí obtém-se a combinação 13\cdot 7 + (-3)\cdot 30 = 1. Isso mostra que x=13 é solução da congruência 7x\equiv 1\pmod{30}. Portanto a inversa de \overline{7} é \overline{13}.
Verificação rápida:
7\cdot 13 = 91 \equiv 1 \pmod{30}
pois 91-1=90 é múltiplo de 30.
Passo 4
Encontrar a inversa de \overline{11}. Podemos usar o algoritmo extendido de Euclides ou tentar um palpite inteligente.
Usando o algoritmo (já vimos as divisões em Passo 2), a volta das substituições deu:
1 = 11\cdot 11 - 4\cdot 30
(pode-se verificar pelas substituições detalhadas do algoritmo). Assim x=11 satisfaz 11x\equiv 1\pmod{30}. Logo a inversa de \overline{11} é \overline{11} — ou seja, \overline{11} é o seu próprio inverso.
Verificação direta:
11\cdot 11 = 121 \equiv 1 \pmod{30}
pois 121-1=120 é múltiplo de 30.
Passo 5
Explicar por que \overline{26} não tem inversa.
Como calculado no Passo 2, \gcd(26,30)=2. Se existisse x tal que 26x\equiv 1\pmod{30}, então teria-se 26x-30y=1 para algum inteiro y. O lado esquerdo é múltiplo de \gcd(26,30)=2, logo seria par, mas o lado direito é 1, ímpar: contradição. Portanto não existe tal x. Conclusão: \overline{26} não é invertível em \mathbb{Z}/30\mathbb{Z}.
Resposta
\,(\overline{7})^{-1}=\overline{13}\n \,(\overline{11})^{-1}=\overline{11}\n \,(\overline{26})^{-1} não existe (não é invertível).