Mostrar a transformada
dada abaixo:
Passo 1
Vamos mostrar a transformada
da expressão
. Isso faz parte do conteúdo de Transformada Z, que é uma ferramenta usada em processamento de sinais para analisar sistemas discretos no domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da Transformada Z e algumas de suas propriedades básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada Z. A Transformada Z de uma sequência
é definida por:
Essa fórmula transforma a sequência no domínio do tempo
para uma função no domínio da frequência
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à nossa expressão
. Aqui,
é a variável discreta de tempo e
é o período de amostragem. Substituindo na definição, temos:
Passo 4
Para resolver essa soma, precisamos usar uma propriedade da Transformada Z relacionada às potências de
. A Transformada Z de
pode ser encontrada derivando a Transformada Z básica várias vezes em relação a
. No nosso caso, com
, vamos precisar derivar três vezes.
Passo 5
A Transformada Z básica de uma sequência constante
é:
Cada derivada em relação a
aumenta o poder do denominador. Assim, aplicando três derivadas, obtemos:
Passo 6
Agora, voltamos à nossa expressão original, que tinha o fator
. Multiplicando pela Transformada Z que encontramos:
Resposta
Portanto, a Transformada
da expressão
é: