Mostrar a transformada z dada abaixo:
Z13!(k T)^3=T^36 z(z^2+4 z+1)(z-1)^4

Passo 1

Vamos mostrar a transformada z da expressão 13!(k T)^3. Isso faz parte do conteúdo de Transformada Z, que é uma ferramenta usada em processamento de sinais para analisar sistemas discretos no domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da Transformada Z e algumas de suas propriedades básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada Z. A Transformada Z de uma sequência x[k] é definida por:
Zx[k] = sumk=0^infty x[k] z^-k
Essa fórmula transforma a sequência no domínio do tempo k para uma função no domínio da frequência z.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa expressão 13!(k T)^3. Aqui, k é a variável discreta de tempo e T é o período de amostragem. Substituindo na definição, temos:
Z16(k T)^3 = sumk=0^infty 16(k T)^3 z^-k

Passo 4

Para resolver essa soma, precisamos usar uma propriedade da Transformada Z relacionada às potências de k. A Transformada Z de k^n pode ser encontrada derivando a Transformada Z básica várias vezes em relação a z. No nosso caso, com n=3, vamos precisar derivar três vezes.

Passo 5

A Transformada Z básica de uma sequência constante 1 é:
Z1 = zz-1
Cada derivada em relação a z aumenta o poder do denominador. Assim, aplicando três derivadas, obtemos:
Zk^3 = z(z^2 + 4z + 1)(z-1)^4

Passo 6

Agora, voltamos à nossa expressão original, que tinha o fator T^36. Multiplicando pela Transformada Z que encontramos:
Z16(k T)^3 = T^36 cdot z(z^2 + 4z + 1)(z-1)^4

Resposta

Portanto, a Transformada z da expressão 13!(k T)^3 é:
Z13!(k T)^3 = T^36 cdot z(z^2+4 z+1)(z-1)^4

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