Questão 3. Seja
uma transformação linear. Suponha que a ação de
sobre os vetores abaixo resulta em:
a) (5 pt) Quem é
e
? Ache uma expressão de
para um vetor
qualquer.
b) (5pt) Determine todos os vetores
tais que
.
b) (5pt) Determine todos os vetores
Passo 1
O enunciado dá a ação da transformação linear
em três vetores e pede duas coisas:
- Calcular
, e e obter uma expressão para qualquer (parte a). - Determinar todos os vetores
tais que (parte b).
As informações fornecidas são (peguei estes vetores do enunciado):
Passo 2
Primeira lição rápida sobre linearidade (útil para a prova): uma transformação linear
satisfaz duas propriedades que vamos usar direto:
para quaisquer vetores
e escalar
.
Em particular, se escrevemos um vetor pela combinação das colunas da base canônica
, isto é,
então, pela linearidade,
Logo, para conhecer
completamente basta saber
.
Passo 3
Defino incógnitas para as imagens das base canônica:
Agora uso as três igualdades dadas e a propriedade
para escrever um sistema em
:
Passo 4
Vamos resolver o sistema para
. Uma forma prática é combinar as três equações. Chamo
Das equações temos
Subtraio a terceira da soma das duas primeiras ou uso a identidade direta para
:
No lado esquerdo os termos se cancelam e sobra
. Portanto
Calculo o lado direito componente a componente:
Para as componentes:
Faço a soma e subtração:
Logo
e, portanto,
Passo 5
Com
volto às equações iniciais para obter
e
:
Verificação rápida:
, consistente.
Passo 6
Agora que temos as imagens das bases, escrevo
usando linearidade:
Substituindo
:
Somando componente a componente obtemos a fórmula explícita:
Observação didática: a coluna da matriz de
na base canônica são exatamente
. Aqui a segunda coluna é nula, então
não influencia a imagem — isto significa que a direção
está no núcleo de
.
Passo 7
Parte (b): resolver
. Uso a expressão encontrada:
Isto gera o sistema de equações por componentes:
Da última equação já vem
. Substituo em
:
Verifico a primeira:
, ok. Note que
não aparece nas equações (pois
), então
é livre — qualquer valor de
serve.
Portanto todas as soluções são os vetores com
,
e
arbitrário.]
Resposta
Conjunto solução de
: