Questão 4. Seja A: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma transformação linear.
a) (4 pt) Utilizando apenas a definição e as propriedades gerais de uma transformação linear (sem usar a definição específica de A do item b), prove que o núcleo de A é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4}.
b) (2pt) Suponha que a ação de A seja tal que A(1,0,0,0)=(1,0,1), A(0,1,0,0)= (2,1,3), A(0,0,1,0)=(-1,1,0) e A(0,0,0,1)=(1,-2,-1) Determine a matriz da transformação linear A.
c) (4 pt) Encontre uma base para o núcleo de A.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver nada ainda).
Dados:
A:\mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{3} é uma transformação linear.
No item (b) foram dadas as imagens dos vetores da base canônica:A(1,0,0,0)=(1,0,1),\quad A(0,1,0,0)=(2,1,3),
A(0,0,1,0)=(-1,1,0),\quad A(0,0,0,1)=(1,-2,-1).
Perguntas:
a) Provar, usando apenas a definição e propriedades gerais de transformação linear, que o núcleo de A é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^4.
b) Determinar a matriz de A (usando as imagens da base canônica fornecidas).
c) Encontrar uma base para o núcleo de A.
Passo 2
Primeiro, lembrar e explicar as definições importantes (isso vai ajudar na prova do item (a)).
Definição do núcleo (nulidade): \ker(A)=\{v\in\mathbb{R}^4 \mid A(v)=0\}, onde 0 é o vetor nulo em \mathbb{R}^3.
Definição de subespaço vetorial de \mathbb{R}^4: um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^4 é subespaço se (i) contém o vetor zero, (ii) é fechado sob soma (se u,v\in W então u+v\in W), e (iii) é fechado sob multiplicação escalar (se v\in W e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha v\in W).
Propriedades de uma transformação linear A:
A(0)=0 (imagem do vetor zero é o vetor zero).
A(u+v)=A(u)+A(v) para todos u,v.
A(\alpha v)=\alpha A(v) para todo escalar \alpha e vetor v.
Passo 3
Provar (i): \ker(A) contém o vetor zero.
Pela propriedade de linearidade, A(0)=0. Assim 0\in\ker(A) porque A(0)=0.
Explicação curta: a imagem do vetor zero é sempre o vetor zero numa transformação linear; portanto o núcleo não pode estar vazio e contém o nulo.
Passo 4
Provar (ii): fechamento por soma — se u\in\ker(A) e v\in\ker(A) então u+v\in\ker(A).
Se u\in\ker(A) então A(u)=0. Se v\in\ker(A) então A(v)=0.
Usando a linearidade:A(u+v)=A(u)+A(v)=0+0=0.
Como A(u+v)=0, segue que u+v\in\ker(A).
Observação didática: aqui se usou diretamente a propriedade de aditividade de A.
Passo 5
Provar (iii): fechamento por multiplicação escalar — se v\in\ker(A) e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha v\in\ker(A).
Seja v\in\ker(A) então A(v)=0. Para \alpha\in\mathbb{R},A(\alpha v)=\alpha A(v)=\alpha\cdot 0=0.
Assim A(\alpha v)=0, logo \alpha v\in\ker(A).
Observação didática: usou-se a propriedade de homogeneidade da transformação linear.
Passo 6
Conclusão do item (a).
Reunindo (i), (ii) e (iii): \ker(A) contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação escalar. Portanto \ker(A) é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^4.
Dica prática para prova: sempre que pedirem mostrar que algo é subespaço, siga esses três passos simples — mostrar presença do zero e as duas fechamentos — e cite a linearidade quando necessário.
Passo 7
Agora o item (b): como obter a matriz de uma transformação linear quando são dadas as imagens dos vetores da base canônica.
Lembrete: a matriz de A relativa às bases canônicas de \mathbb{R}^4 (domínio) e \mathbb{R}^3 (contradomínio) tem como colunas as imagens dos vetores da base canônica do domínio, escritas nas coordenadas da base canônica do contradomínio.
Aqui as imagens das quatro colunas foram fornecidas explicitamente:
Coluna 1 = A(1,0,0,0)=(1,0,1).
Coluna 2 = A(0,1,0,0)=(2,1,3).
Coluna 3 = A(0,0,1,0)=(-1,1,0).
Coluna 4 = A(0,0,0,1)=(1,-2,-1).
Passo 8
Escrever a matriz resultante (cada coluna é a imagem correspondente).
Isso é equivalente ao sistema de três equações em quatro incógnitas:\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 + x_4 = 0,\\[4pt] x_2 + x_3 - 2x_4 = 0,\\[4pt] x_1 + 3x_2 - x_4 = 0. \end{cases}]
Passo 10
Resolver o sistema passo a passo (fazer eliminação/isolamento).
Da segunda equação isolamos x_2:x_2 = -x_3 + 2x_4.(Escolhi isso porque a segunda equação já tem coeficiente 1 em x_2, é prático.)
Verificação rápida de que os dois vetores formam uma base.
São dois vetores linearmente independentes (não múltiplos um do outro), e geram todos os vetores solução (pois usamos os dois parâmetros s,t). Como o espaço solução tem dimensão 2 (quatro incógnitas menos posto =4-2=2), esses dois vetores formam uma base do núcleo.
Observação prática: em prova, basta mostrar que a solução pode ser escrita como combinação linear desses vetores e que os vetores não são múltiplos escalares entre si.
Resposta
(a) \ker(A) é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^4.