(1,0) Mostre que 13 \mid 2^{70}+3^{70}. (Dica: verifique que 2^{70} \equiv-3(\bmod 13) e que \left.3^{70} \equiv 3(\bmod 13)\right).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede-se mostrar que 13 divide 2^{70}+3^{70}, isto é, provar que
2^{70}+3^{70}\equiv 0 \pmod{13}.
  • Dica dada: verificar que 2^{70}\equiv -3\pmod{13} e que 3^{70}\equiv 3\pmod{13}.
  • Informação útil que já está presente (implícita): 13 é primo. Não há mais dados numéricos no enunciado.

Passo 2

Noções básicas de congruência que vamos usar (explicação didática):
  • Dizemos a\equiv b\pmod{m} quando m divide a-b. Isso permite trabalhar com restos: se a\equiv b\pmod{m} e c\equiv d\pmod{m}, então a+c\equiv b+d\pmod{m},\qquad a\cdot c\equiv b\cdot d\pmod{m},\qquad a^k\equiv b^k\pmod{m}.
  • Para reduzir potências grandes, usamos resultados que dão que certas potências valem 1 módulo m. Em particular, se p é primo e \gcd(a,p)=1, então o Pequeno Teorema de Fermat diz que a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}.Aqui p=13, então para qualquer a que não seja múltiplo de 13 vale a^{12}\equiv1\pmod{13}. Isso nos permite reduzir expoentes módulo 12.
  • Também é útil notar que se a^k\equiv 1\pmod{m} para algum k, então ao decompor um expoente n=qk+r obtemos a^n\equiv a^r\pmod{m}. Em palavras: podemos reduzir o expoente módulo k.

Passo 3

Calcular 2^{70}\pmod{13} passo a passo:
  • Como 13 é primo e \gcd(2,13)=1, pelo Pequeno Teorema de Fermat temos 2^{12}\equiv 1\pmod{13}.
  • Escrevemos 70=12\cdot5+10. Logo 2^{70}=(2^{12})^{5}\cdot 2^{10}\equiv 1^{5}\cdot 2^{10}\equiv 2^{10}\pmod{13}.
  • Agora calculamos 2^{10} módulo 13 reduzindo potências pequenas (vou mostrar passos bem mastigados): 2^1\equiv 2\pmod{13},
2^2\equiv 4\pmod{13},
2^3\equiv 8\pmod{13},
2^4\equiv 16\equiv 3\pmod{13}\quad(\text{pois }16-13=3),
2^5\equiv 2^4\cdot 2\equiv 3\cdot 2\equiv 6\pmod{13},
2^6\equiv 2^5\cdot 2\equiv 6\cdot 2\equiv 12\equiv -1\pmod{13}.
Usando 2^6\equiv -1 e 2^4\equiv 3 obtemos
2^{10}=2^6\cdot 2^4\equiv (-1)\cdot 3\equiv -3\pmod{13}.
  • Conclusão deste passo: 2^{70}\equiv 2^{10}\equiv -3\pmod{13}.

Passo 4

Calcular 3^{70}\pmod{13} passo a passo:
  • Podemos também observar potências pequenas de 3 módulo 13: 3^1\equiv 3\pmod{13},
3^2\equiv 9\pmod{13},
3^3\equiv 27\equiv 1\pmod{13}\quad(\text{pois }27-2\cdot13=1).
  • Como 3^3\equiv 1\pmod{13}, podemos reduzir expoentes de 3 módulo 3. Escrevendo 70=3\cdot23+1 temos 3^{70}=(3^3)^{23}\cdot 3^1\equiv 1^{23}\cdot 3\equiv 3\pmod{13}.
  • (Observação: também poderia usar Fermat com 3^{12}\equiv1, mas encontrar 3^3\equiv1 torna a redução mais curta.)

Passo 5

Somando as congruências e concluindo:
  • Das etapas anteriores temos 2^{70}\equiv -3\pmod{13}\quad\text{e}\quad 3^{70}\equiv 3\pmod{13}.
  • Somando membro a membro: 2^{70}+3^{70}\equiv -3+3\equiv 0\pmod{13}.
  • Isso significa exatamente que 13 divide 2^{70}+3^{70}.

Resposta

13 \mid 2^{70}+3^{70}

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