Mostre que
. (Dica: verifique que
e que
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede-se mostrar que
divide , isto é, provar que
- Dica dada: verificar que
e que . - Informação útil que já está presente (implícita):
é primo. Não há mais dados numéricos no enunciado.
Passo 2
Noções básicas de congruência que vamos usar (explicação didática):
- Dizemos
quando divide . Isso permite trabalhar com restos: se e , então - Para reduzir potências grandes, usamos resultados que dão que certas potências valem
módulo . Em particular, se é primo e , então o Pequeno Teorema de Fermat diz que Aqui , então para qualquer que não seja múltiplo de vale . Isso nos permite reduzir expoentes módulo . - Também é útil notar que se
para algum , então ao decompor um expoente obtemos . Em palavras: podemos reduzir o expoente módulo .
Passo 3
Calcular
passo a passo:
- Como
é primo e , pelo Pequeno Teorema de Fermat temos . - Escrevemos
. Logo - Agora calculamos
módulo reduzindo potências pequenas (vou mostrar passos bem mastigados):
Usando
e
obtemos
- Conclusão deste passo:
Passo 4
Calcular
passo a passo:
- Podemos também observar potências pequenas de
módulo :
- Como
, podemos reduzir expoentes de módulo . Escrevendo temos - (Observação: também poderia usar Fermat com
, mas encontrar torna a redução mais curta.)
Passo 5
Somando as congruências e concluindo:
- Das etapas anteriores temos
- Somando membro a membro:
- Isso significa exatamente que
divide .