Encontre todas as soluções das seguintes congruências lineares:
.
Passo 1
O enunciado dá a congruência
Pergunta: encontrar todas as soluções inteiras
desta congruência, descritas como classes residuais (por exemplo, todas as soluções diferentes modulo
).
Informações relevantes fornecidas:
- Coeficiente do
: . - Termo à direita:
. - Módulo:
.
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular o máximo divisor comum entre o coeficiente e o módulo. Isso é importante porque o número de soluções e se elas existem dependem desse divisor comum.
Calcule
. Usando a definição/algoritmo de Euclides (ou observação direta pois
):
Passo 3
Verificar se
divide o termo à direita
. Isto é, verificar se
.
Como
, temos que
. Consequência teórica (explicação didática): quando
e
, a congruência
tem exatamente
classes de solução distintas módulo
. Aqui, portanto, haverá exatamente
soluções distintas modulo
.
Passo 4
Reduzir a congruência dividindo por
. A regra é: se
, pode-se dividir a congruência por
e reduzir o módulo para
. Aplicando:
Isso dá a congruência reduzida
Breve explicação do motivo: dividir por
elimina o fator comum, transformando o problema numa congruência equivalente com coeficiente do
igual a
e módulo menor
.
Passo 5
Resolver a congruência reduzida. Como
podemos recolher
módulo
:
logo
Isto significa que todas as soluções são da forma
Passo 6
Converter essa descrição para classes modulo
. Como já antecipado, existem
classes distintas modulo
. Podemos tomar
e listar as representações no intervalo
a
:
Esses cinco resíduos são distintos módulo
e exaurem todas as soluções.
Verificação geral (rápida e elegante): para
,
e como
, a congruência original é satisfeita por todo
dessa forma.