(1,5) Encontre todas as soluções das seguintes congruências lineares:
5 x \equiv 20(\bmod 15).

Passo 1

O enunciado dá a congruência
5x \equiv 20 \pmod{15}.
Pergunta: encontrar todas as soluções inteiras x desta congruência, descritas como classes residuais (por exemplo, todas as soluções diferentes modulo 15).
Informações relevantes fornecidas:
  • Coeficiente do x: 5.
  • Termo à direita: 20.
  • Módulo: 15.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular o máximo divisor comum entre o coeficiente e o módulo. Isso é importante porque o número de soluções e se elas existem dependem desse divisor comum.
Calcule \gcd(5,15). Usando a definição/algoritmo de Euclides (ou observação direta pois 15=3\cdot5):
\gcd(5,15)=5.

Passo 3

Verificar se \gcd(5,15) divide o termo à direita 20. Isto é, verificar se 5\mid 20.
Como 20 = 5\cdot 4, temos que 5\mid 20. Consequência teórica (explicação didática): quando d=\gcd(a,m) e d\mid b, a congruência ax\equiv b\pmod m tem exatamente d classes de solução distintas módulo m. Aqui, portanto, haverá exatamente 5 soluções distintas modulo 15.

Passo 4

Reduzir a congruência dividindo por d=\gcd(5,15)=5. A regra é: se d\mid a,b,m, pode-se dividir a congruência por d e reduzir o módulo para m/d. Aplicando:
\frac{5}{5}x \equiv \frac{20}{5} \pmod{\frac{15}{5}}.
Isso dá a congruência reduzida
x \equiv 4 \pmod{3}.
Breve explicação do motivo: dividir por d elimina o fator comum, transformando o problema numa congruência equivalente com coeficiente do x igual a 1 e módulo menor \,m/d.

Passo 5

Resolver a congruência reduzida. Como
x \equiv 4 \pmod{3},
podemos recolher 4 módulo 3:
4 \equiv 1 \pmod{3},
logo
x \equiv 1 \pmod{3}.
Isto significa que todas as soluções são da forma
x = 1 + 3k,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Converter essa descrição para classes modulo 15. Como já antecipado, existem d=5 classes distintas modulo 15. Podemos tomar k=0,1,2,3,4 e listar as representações no intervalo 0 a 14:
\begin{aligned} k=0&:\\ x=1,\\\ k=1&:\\ x=4,\\\ k=2&:\\ x=7,\\\ k=3&:\\ x=10,\\\ k=4&:\\ x=13. \end{aligned}
Esses cinco resíduos são distintos módulo 15 e exaurem todas as soluções.
Verificação geral (rápida e elegante): para x=1+3k,
5x = 5(1+3k)=5+15k\equiv 5 \pmod{15},
e como 20\equiv 5\pmod{15}, a congruência original é satisfeita por todo x dessa forma.

Resposta

\,x\equiv 1 \pmod{3}
\,x\equiv 1,4,7,10,13 \pmod{15}

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