(1,0) Determine quais dos conjuntos é um sistema completo de restos módulo 5 .
{-7,1,4,15,36}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o conjunto \{-7,1,4,15,36\} é um sistema completo de restos módulo 5.
Informações dadas:
  • Módulo: 5.
  • Conjunto a testar: \{-7,1,4,15,36\}.

Passo 2

O que significa ser um sistema completo de restos módulo 5?
  • Um conjunto de inteiros é um sistema completo de restos módulo 5 se, ao reduzir cada elemento módulo 5, obtiver exatamente uma representante de cada classe de congruência \{0,1,2,3,4\}.
  • Em outras palavras, ao calcular os resíduos (restos) quando dividimos por 5, devemos obter os cinco números distintos 0,1,2,3,4 (cada um aparece exatamente uma vez).
    Método prático para a prova:
  1. Reduzir cada elemento dado modulo 5 (ou seja, achar seu resto na divisão por 5 ou um representante na faixa 0 a 4).
  2. Verificar se os resíduos obtidos são exatamente os cinco distintos 0,1,2,3,4. Se faltar algum ou houver repetição, então o conjunto não é completo.

Passo 3

Vou reduzir cada elemento do conjunto módulo 5, mostrando passo a passo como obter cada resto.
  • Para -7: somo 2 vezes 5 (isto é, 10) para ficar com um número positivo próximo.
    -7 + 10 = 3,
    então -7 \equiv 3 \pmod{5}.
  • Para 1: já está entre 0 e 4, então
    1 \equiv 1 \pmod{5}.
  • Para 4: também está na faixa canônica, então
    4 \equiv 4 \pmod{5}.
  • Para 15: 15 é múltiplo de 5 ( 15 = 3\cdot5 ), então
    15 \equiv 0 \pmod{5}.
  • Para 36: subtraio 35 = 7\cdot5 para achar o resto:
    36 - 35 = 1,
    então 36 \equiv 1 \pmod{5}.
Portanto os resíduos obtidos são
\{3,\,1,\,4,\,0,\,1\}.

Passo 4

Comparando com a lista completa de classes \{0,1,2,3,4\}:
  • O conjunto de resíduos tem um valor repetido ( 1 aparece duas vezes).
  • O resíduo 2 não aparece (está ausente).
Como faltou o representante 2 e houve repetição, o conjunto não fornece exatamente uma representante para cada classe modulo 5. Logo não é um sistema completo de restos módulo 5.

Passo 5

Dica rápida para a prova (truque que salva tempo): se o conjunto tem 5 elementos, reduza-os todos e verifique se os resíduos são todos distintos. Se houver alguma repetição, pode parar e dizer que não é completo. Um exemplo de conjunto que funciona é \{-2,-1,0,1,2\}, pois reduzindo módulo 5 \{3,4,0,1,2\}, que são os cinco resíduos distintos 0,1,2,3,4.

Resposta

Não — o conjunto \{-7,1,4,15,36\} não é um sistema completo de restos módulo 5.

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