Determine quais dos conjuntos é um sistema completo de restos módulo 5 .
{-7,1,4,15,36}
{-7,1,4,15,36}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o conjunto
é um sistema completo de restos módulo
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Módulo:
. - Conjunto a testar:
.
Passo 2
O que significa ser um sistema completo de restos módulo
?
- Um conjunto de inteiros é um sistema completo de restos módulo
se, ao reduzir cada elemento módulo , obtiver exatamente uma representante de cada classe de congruência . - Em outras palavras, ao calcular os resíduos (restos) quando dividimos por
, devemos obter os cinco números distintos (cada um aparece exatamente uma vez).
Método prático para a prova:
- Reduzir cada elemento dado modulo
(ou seja, achar seu resto na divisão por ou um representante na faixa a ). - Verificar se os resíduos obtidos são exatamente os cinco distintos
. Se faltar algum ou houver repetição, então o conjunto não é completo.
Passo 3
Vou reduzir cada elemento do conjunto módulo
, mostrando passo a passo como obter cada resto.
-
Para
: somo vezes (isto é, ) para ficar com um número positivo próximo. então. -
Para
: já está entre e , então -
Para
: também está na faixa canônica, então -
Para
: é múltiplo de ( ), então -
Para
: subtraio para achar o resto: então.
Portanto os resíduos obtidos são
Passo 4
Comparando com a lista completa de classes
:
- O conjunto de resíduos tem um valor repetido (
aparece duas vezes). - O resíduo
não aparece (está ausente).
Como faltou o representante
e houve repetição, o conjunto não fornece exatamente uma representante para cada classe modulo
. Logo não é um sistema completo de restos módulo
.
Passo 5
Dica rápida para a prova (truque que salva tempo): se o conjunto tem
elementos, reduza-os todos e verifique se os resíduos são todos distintos. Se houver alguma repetição, pode parar e dizer que não é completo. Um exemplo de conjunto que funciona é
, pois reduzindo módulo
dá
, que são os cinco resíduos distintos
.
Resposta
Não — o conjunto
não é um sistema completo de restos módulo
.