Mostre que
1+\cot ^{2} z=\csc ^{2} z

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos a identidade trigonométrica
1 + \cot^2 z = \csc^2 z
O conteúdo principal é o uso das definições de \cot z e \csc z em função de \sin z e \cos z, junto com a identidade pitagórica \sin^2 z + \cos^2 z = 1.

Passo 2

Usamos as definições \cot z = \dfrac{\cos z}{\sin z} e \csc z = \dfrac{1}{\sin z}.
Assim,
\cot^2 z = \frac{\cos^2 z}{\sin^2 z}, \qquad 1 = \frac{\sin^2 z}{\sin^2 z}.

Passo 3

Somando e simplificando com a identidade pitagórica, obtemos
1 + \cot^2 z = \frac{\sin^2 z}{\sin^2 z} + \frac{\cos^2 z}{\sin^2 z} = \frac{\sin^2 z + \cos^2 z}{\sin^2 z} = \frac{1}{\sin^2 z} = \csc^2 z.

Resposta

Portanto, está demonstrado que
1 + \cot^2 z = \csc^2 z.

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