Mostre que
\cos (z \pm w)=\cos z \cos w \mp \sin z \sin w

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar as fórmulas de adição e subtração para o cosseno em argumentos complexos, ou seja, mostrar que
\cos(z + w) = \cos z \,\cos w \;-\;\sin z \,\sin w
e
\cos(z - w) = \cos z \,\cos w \;+\;\sin z \,\sin w.
Para isso, vamos usar as definições de Euler:
\cos u = \frac{e^{iu} + e^{-iu}}{2}, \quad \sin u = \frac{e^{iu} - e^{-iu}}{2i}.

Passo 2

Escrevemos a soma de argumentos usando a definição de cosseno em termos de exponencial:
\cos(z + w) = \frac{e^{\,i(z + w)} + e^{-\,i(z + w)}}{2}.

Passo 3

Agora expandimos e^{i(z+w)} e e^{-i(z+w)}:
e^{i(z + w)} = e^{iz}\,e^{iw}, \quad e^{-\,i(z + w)} = e^{-\,iz}\,e^{-\,iw}.
Substituindo na expressão de \cos(z+w), obtemos
\cos(z + w) = \frac{e^{iz}e^{iw} + e^{-iz}e^{-iw}}{2}.

Passo 4

Vamos agrupar termos de modo a aparecer \cos z\cos w e \sin z\sin w. Note que
e^{iz}e^{iw} + e^{-iz}e^{-iw} = \bigl(e^{iz}+e^{-iz}\bigr)\bigl(e^{iw}+e^{-iw}\bigr)\,\frac12 - \bigl(e^{iz}-e^{-iz}\bigr)\bigl(e^{iw}-e^{-iw}\bigr)\,\frac1{2}.
Logo,
\cos(z+w) = \frac12\cdot\frac{(e^{iz}+e^{-iz})(e^{iw}+e^{-iw})}{2} \;-\;\frac12\cdot\frac{(e^{iz}-e^{-iz})(e^{iw}-e^{-iw})}{2}.
Pela definição de \cos e \sin, isso é
\cos(z+w) = \cos z\,\cos w \;-\;\sin z\,\sin w.

Passo 5

Para \cos(z - w), começamos de modo análogo:
\cos(z - w) = \frac{e^{\,i(z - w)} + e^{-\,i(z - w)}}{2} = \frac{e^{iz}e^{-iw} + e^{-iz}e^{iw}}{2}.

Passo 6

Agrupando para aparecer \cos z\,\cos w e \sin z\,\sin w, notamos que
e^{iz}e^{-iw} + e^{-iz}e^{iw} = \bigl(e^{iz}+e^{-iz}\bigr)\bigl(e^{iw}+e^{-iw}\bigr)\,\frac12 + \bigl(e^{iz}-e^{-iz}\bigr)\bigl(e^{iw}-e^{-iw}\bigr)\,\frac1{2}.
Assim,
\cos(z - w) = \frac12\cdot\frac{(e^{iz}+e^{-iz})(e^{iw}+e^{-iw})}{2} \;+\;\frac12\cdot\frac{(e^{iz}-e^{-iz})(e^{iw}-e^{-iw})}{2} = \cos z\,\cos w \;+\;\sin z\,\sin w.

Resposta

\displaystyle \cos(z + w) = \cos z\,\cos w \;-\;\sin z\,\sin w \displaystyle \cos(z - w) = \cos z\,\cos w \;+\;\sin z\,\sin w

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