Mostre que \sin (z \pm w)=\sin z \cos w \pm \sin w \cos z
\begin{aligned} \sin (z \pm w) & =\frac{e^{i(z \pm w)}-e^{-i(z \pm w)}}{2 i}=\frac{e^{i z} e^{ \pm i w}-e^{-i z} e^{\mp i w}}{2 i}=\frac{e^{i z} e^{ \pm i w}-e^{-i z} e^{ \pm i w}+e^{-i z} e^{ \pm i w}-e^{-i z} e^{\mp i w}}{2 i} \\\ & =e^{ \pm i w} \frac{e^{i z}-e^{-i z}}{2 i}+e^{-i z} \frac{e^{ \pm i w}-e^{\mp i w}}{2 i}=(\cos w \pm i \sin w) \sin z \pm(\cos z-i \sin z) \sin w \\\ & =\sin z \cos w \pm \sin w \cos z \end{aligned}
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade de adição para a função seno em argumentos complexos, ou seja, provar que
\sin(z\pm w)=\sin z\cos w\pm\sin w\cos z.
Nós vamos usar as fórmulas de Euler para \sin e \cos:
Aplicando diretamente a definição de \sin por Euler ao argumento z\pm w, temos
\sin(z\pm w) =\frac{e^{\,i(z\pm w)}-e^{-\,i(z\pm w)}}{2i} =\frac{e^{iz}e^{\pm i w}-e^{-iz}e^{\mp i w}}{2i}.
Passo 3
Para separar os termos que vão gerar \sin z\cos w e \sin w\cos z, escrevemos
\sin(z\pm w) =\underbrace{\frac{e^{\pm i w}\bigl(e^{iz}-e^{-iz}\bigr)}{2i}}_{A} +\underbrace{\frac{e^{-iz}\bigl(e^{\pm i w}-e^{\mp i w}\bigr)}{2i}}_{B}.
Passo 4
Reconhecemos em A e B as expressões de seno e cosseno:
Em A:
\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}=\sin z, \quad e^{\pm i w}=\cos w\pm i\sin w,
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A=e^{\pm i w}\,\sin z =(\cos w\pm i\sin w)\,\sin z =\sin z\cos w \pm i\,\sin z\sin w.
Em B:
\frac{e^{\pm i w}-e^{\mp i w}}{2i}=\pm\sin w, \quad e^{-iz}=\cos z - i\sin z,
portanto
B=e^{-iz}\,\bigl(\pm\sin w\bigr) =\pm(\cos z - i\sin z)\,\sin w =\pm\bigl(\cos z\,\sin w - i\,\sin z\,\sin w\bigr).