Mostre que:
a) Se S=r+r^2+r^3+ldots+r^n, onde n in N e r neq 1, então S=r^n+1-rr-1.
b) Se an=[n+1n^2+(n+1)^2n^3+ldots+(n+1)^nn^n+1], n in N, então
an=(1+1n)[(1+1n)^n-1]
c) Calcule lim n infty an.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
(a) somar a série geométrica
S = r + r^2 + cdots + r^n,
com ninN e rneq1;
(b) mostrar que, para
an = n+1n^2 + (n+1)^2n^3 + cdots + (n+1)^nn^n+1,
vale
an = l(1+tfrac1nr)l[(1+tfrac1n)^n - 1r];
(c) calcular limntoinftyan.
Vamos usar a soma de progressão geométrica e o limite limntoinfty(1+1/n)^n=e.

Passo 2

Para
S = r + r^2 + cdots + r^n,
multiplicamos por r:
rS = r^2 + r^3 + cdots + r^n+1
Subtraindo as duas somas:
rS - S = r^n+1 - r
Então
S(r-1) = r^n+1 - r Longrightarrow S = r^n+1 - rr - 1

Passo 3

Escrevemos
an = sumk=1^n (n+1)^kn^k+1 = 1nsumk=1^n l(n+1nr)^k
Reconhecemos uma PG de razão
r = n+1n = 1 + 1n,
com n termos. Pela fórmula do item (a):
sumk=1^n r^k = r^n+1-rr-1
Como r-1=1/n, segue
an = 1n;r^n+1-rr-1 = 1n;r^n+1-r1/n = r^n+1-r = l(1+tfrac1nr)l[(1+tfrac1n)^n - 1r]

Passo 4

Para o limite usamos
limntoinfty(1+1/n)=1 e limntoinfty(1+1/n)^n=e.
Logo
limntoinftyan = limntoinftyl(1+tfrac1nr)l[(1+tfrac1n)^n - 1r] = 1cdot(e-1) = e-1

Resposta

a) S=r^n+1-rr-1
b) an=l(1+tfrac1nr)l[(1+tfrac1n)^n - 1r]
c) limntoinftyan=e-1

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