Calcule as integrais abaixo.
integral-3^3 integral-raiz9-x^2^raiz9-x^2 integralx^2+y^2^2-x^2-y^2(x^2+y^2)^3 / 2 d z d y d x ;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral-3^3integral-raiz9-x^2^raiz9-x^2integralx^2+y^2^2 - l(x^2+y^2r)l(x^2+y^2r)^3/2,dz,dy,dx
O conteúdo aqui é integrar em z primeiro (pois o integrando não depende de z) e depois reduzir a um integral duplo em x,y. A seguir, usaremos coordenadas polares para simplificar a parte em x,y.

Passo 2

Integramos em z: como l(x^2+y^2r)^3/2 é constante em z, temos
integralx^2+y^2^2 - (x^2+y^2)l(x^2+y^2r)^3/2,dz =l(x^2+y^2r)^3/2l[(2 - (x^2+y^2)) - (x^2+y^2)r] =2l(x^2+y^2r)^3/2l(1 - (x^2+y^2)r)

Passo 3

Agora a integral reduz-se a
2integral duplax^2+y^2<=9l(x^2+y^2r)^3/2l(1 - (x^2+y^2)r),dA

Passo 4

Em coordenadas polares ( x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta, 0<= r<=3, 0<=theta<=2pi), temos x^2+y^2=r^2, logo
l(x^2+y^2r)^3/2=r^3, 1-(x^2+y^2)=1-r^2,
e
2integral duplaDr^3(1-r^2),r,dr,dtheta =2integral0^2pi!!integral0^3l(r^4-r^6r),dr,dtheta

Passo 5

Separamos a integral:
2integral0^2pidtheta;integral0^3(r^4-r^6),dr =2,(2pi)l[integral0^3r^4,dr-integral0^3r^6,drr]
Calculemos:
integral0^3r^4,dr=3^55=2435, integral0^3r^6,dr=3^77=21877
Então a parte radial vale
2435-21877 =243cdot7 - 2187cdot535 =1701-1093535 =-923435

Passo 6

Multiplicando pelos fatores externos:
2,(2pi)l(-923435r) =-4cdot923435,pi =-3693635,pi

Resposta

-3693635,pi

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