Calcule algebricamente, o seguinte Limite:
lim x pi g(x), onde g satisfaz 3-cos ^2(x) <= g(x) <= 2+(x-pi)^2 para todo x in R.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular
limxto pi g(x)
sabendo que, para todo x, vale
3 - cos^2(x) ;<=; g(x) ;<=; 2 + (x-pi)^2
O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem).

Passo 2

Calcular o limite da função inferior
f1(x) = 3 - cos^2(x)
quando xtopi. Como cos(pi) = -1, temos cos^2(pi)=1. Logo,
limxtopi f1(x) = 3 - 1 = 2

Passo 3

Calcular o limite da função superior
f2(x) = 2 + (x-pi)^2
quando xtopi. Claro que (x-pi)^2to0, então
limxtopi f2(x) = 2 + 0 = 2

Passo 4

Aplicando o Teorema do Confronto, como
limxtopi l(3 - cos^2(x)r) = 2 e limxtopi l(2 + (x-pi)^2r) = 2,
e sabemos que
3 - cos^2(x) ;<=; g(x) ;<=; 2 + (x-pi)^2,
segue que
limxtopi g(x) = 2

Resposta

2

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