Mostre que
4^n<n!, forall n >= 9, n in N

Passo 1

O enunciado pede para provar que
4^n < n!, forall n>=9, ninN
O método mais direto é usar indução matemática.

Passo 2

Caso base ( n=9):
Calculemos
4^9 = 262144
e
9! = 362880
Como 262144 < 362880, o caso base está verificado.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que para algum k>=9 valha
4^k < k!

Passo 4

Passo indutivo. Queremos mostrar que
4^k+1 < (k+1)!
Começamos por
4^k+1 = 4cdot 4^k
Pela hipótese de indução temos 4^k<k!, então
4^k+1 < 4cdot k!
Como k>=9 implica k+1>=10, segue que
4cdot k! < (k+1),k! = (k+1)!
Logo
4^k+1 < (k+1)!

Passo 5

Pela base de indução e pelo passo indutivo, conclui-se que
4^n < n! forall n>=9, ninN

Resposta

Foi demonstrado por indução que forall n>=9, 4^n<n!.

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