Mostre que
n^2<2^n, forall n >= 5, n in N

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
n^2<2^n, forall n>=5,;ninN
O conteúdo usado será o princípio de indução em N: verificar o caso base e depois fazer o passo indutivo.

Passo 2

(Caso base) Para n=5 temos
5^2=25 e 2^5=32,
logo 25<32. Portanto, a propriedade vale para n=5.

Passo 3

(Hipótese de indução) Suponha que para algum k>=5 valha
k^2<2^k

Passo 4

(Prova para k+1) Começamos expandindo
(k+1)^2 = k^2+2k+1
Pela hipótese de indução k^2<2^k, segue
(k+1)^2<2^k+2k+1

Passo 5

Mostramos que, para k>=5,
2k+1<=2^k
De fato, em k=5 temos 2cdot5+1=11<32=2^5, e a diferença
2^k-(2k+1)
só aumenta quando k cresce (pois ao passar de k para k+1 a diferença cresce em 2^k-2>0 para k>=2). Logo para todo k>=5 vale 2k+1<=2^k. Assim
2^k+2k+1<=2^k+2^k=2^k+1

Passo 6

Combinando os resultados dos passos anteriores, obtemos
(k+1)^2<2^k+2k+1<=2^k+1,
ou seja,
(k+1)^2<2^,k+1
Isso fecha o passo indutivo.

Resposta

Portanto, por indução, ,n^2<2^n para todo n>=5 em N.

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