Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
O conteúdo usado será o princípio de indução em
: verificar o caso base e depois fazer o passo indutivo.
Passo 2
(Caso base) Para
temos
logo
. Portanto, a propriedade vale para
.
Passo 3
(Hipótese de indução) Suponha que para algum
valha
Passo 4
(Prova para
) Começamos expandindo
Pela hipótese de indução
, segue
Passo 5
Mostramos que, para
,
De fato, em
temos
, e a diferença
só aumenta quando
cresce (pois ao passar de
para
a diferença cresce em
para
). Logo para todo
vale
. Assim
Passo 6
Combinando os resultados dos passos anteriores, obtemos
ou seja,
Isso fecha o passo indutivo.
Resposta
Portanto, por indução,
para todo
em
.