Mostre que:
7 mid 2^n+1+3^2 n-1, forall n in N

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
7mid 2^n+1 + 3^2n-1
para todo ninN. O conteúdo envolvido é teoria de congruências (aritmética modular). Vamos usar a ideia de reduzir potências módulo 7, aproveitando que 3^2equiv9equiv2pmod7 e que 3^-1equiv5pmod7.

Passo 2

Começamos por reescrever 3^2n-1 de forma conveniente:
3^2n-1 ;=;3^2n3;=;(3^2)^n3
Como 3^2equiv2pmod7 e o inverso de 3 em Z7 é 5 (pois 3cdot5=15equiv1pmod7), obtemos
3^2n-1;equiv;2^ncdot5pmod7

Passo 3

Agora somamos com 2^n+1 e reduzimos módulo 7:
2^n+1+3^2n-1 ;equiv;2cdot2^n ;+;5cdot2^n ;=;(2+5),2^n ;=;7cdot2^n ;equiv;0pmod7
Isso mostra que 7 divide 2^n+1+3^2n-1 para todo n.

Resposta

Como chegamos a
2^n+1+3^2n-1equiv 7cdot2^nequiv0pmod7,
concluímos que
7mid 2^n+1+3^2n-1
para todo ninN.

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