Mostre analiticamente e geometricamente que existem números r e s tais que \vec{w}=r \vec{u}+s \vec{v} onde \vec{u}=(2,-1), \vec{v}=(3,2) e \vec{w}=(5,2).
Passo 1
O enunciado dá os vetores \vec{u}=(2,-1), \vec{v}=(3,2) e \vec{w}=(5,2) e pede para mostrar que existem escalares r e s tais que
\vec{w}=r\vec{u}+s\vec{v}.
O conteúdo aqui é combinação linear em \mathbb{R}^2: basta traduzir a igualdade vetorial em sistema de equações escalares e depois dar uma interpretação geométrica.
Passo 2
Escrevendo a igualdade componente a componente, obtemos o sistema
Geom etricamente, note que \vec{u} e \vec{v} não são colineares (o determinante \det\bigl[(2,-1),(3,2)\bigr]=2\cdot2-(-1)\cdot3=7\neq0), logo formam uma base de \mathbb{R}^2.
Para construir \vec{w}, escala-se \vec{u} por r=\tfrac{4}{7} e a partir do fim desse vetor desenha-se s=\tfrac{9}{7} vezes \vec{v}. O lado do paralelogramo obtido une o início (origem) ao fim dessa soma, que coincide com \vec{w}=(5,2). Assim, a combinação geométrica confirma r\vec{u}+s\vec{v}=\vec{w}.