Mostre analiticamente e geometricamente que existem números r e s tais que \vec{w}=r \vec{u}+s \vec{v} onde
\vec{u}=(2,-1), \vec{v}=(3,2) e \vec{w}=(5,2).

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(2,-1), \vec{v}=(3,2) e \vec{w}=(5,2) e pede para mostrar que existem escalares r e s tais que
\vec{w}=r\vec{u}+s\vec{v}.
O conteúdo aqui é combinação linear em \mathbb{R}^2: basta traduzir a igualdade vetorial em sistema de equações escalares e depois dar uma interpretação geométrica.

Passo 2

Escrevendo a igualdade componente a componente, obtemos o sistema
\begin{cases} 2r + 3s = 5,\\\\ -\,1r + 2s = 2. \end{cases}
Para eliminar r, multiplica-se a segunda equação por 2 e soma-se à primeira:
\begin{aligned} -2r + 4s &= 4,\\\\ 2r + 3s &= 5,\\hline 7s &= 9\quad\Longrightarrow\quad s = \frac{9}{7}. \end{aligned}
Substituindo s=\tfrac{9}{7} em -r+2s=2 vem
-r + 2\cdot\frac{9}{7} = 2 \quad\Longrightarrow\quad -r + \frac{18}{7}=2 \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{4}{7}.

Passo 3

Geom etricamente, note que \vec{u} e \vec{v} não são colineares (o determinante \det\bigl[(2,-1),(3,2)\bigr]=2\cdot2-(-1)\cdot3=7\neq0), logo formam uma base de \mathbb{R}^2.
Para construir \vec{w}, escala-se \vec{u} por r=\tfrac{4}{7} e a partir do fim desse vetor desenha-se s=\tfrac{9}{7} vezes \vec{v}. O lado do paralelogramo obtido une o início (origem) ao fim dessa soma, que coincide com \vec{w}=(5,2). Assim, a combinação geométrica confirma r\vec{u}+s\vec{v}=\vec{w}.

Resposta

r=\frac{4}{7} e s=\frac{9}{7}.

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