Mostre que mesmo que x=0 anule o denominador de raiz1+x-1x, a reta x=0 não é uma assíntota vertical da função f(x)=raiz1+x-1x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, embora em x=0 o denominador de
f(x)=raiz1+x-1x
se anule, a reta x=0 não é uma assíntota vertical de f. O conteúdo aqui é limite e definição de assíntota vertical: uma reta x=a é assíntota vertical de f se, ao nos aproximarmos de a, f(x)topminfty. Para resolver, vamos calcular os limites laterais de f(x) em xto0.

Passo 2

Lembrando que uma assíntota vertical em x=0 exigiria
limxto0^-f(x)=pminfty ou limxto0^+f(x)=pminfty
Se ambos os limites laterais forem finitos iguais, concluímos que não há assíntota vertical.

Passo 3

Para calcular limxto0f(x) vamos racionalizar o numerador. Multiplicamos numerador e denominador por raiz1+x+1:
f(x) =raiz1+x-1x cdotraiz1+x+1raiz1+x+1 =(1+x)-1x,(raiz1+x+1) =xx,(raiz1+x+1) =1raiz1+x+1
Esse novo formato vale para xneq0 e mostra a simplificação exata de f.

Passo 4

Agora basta tomar o limite de
1raiz1+x+1
quando xto0. Como raiz1+0=1, temos
limxto01raiz1+x+1 =11+1 =12,
que é finito e igual pelos dois lados. Logo, f(x) não tende a pminfty em x=0.

Resposta

A reta x=0 não é assíntota vertical porque
limxto0^-f(x) =limxto0^+f(x) =tfrac12,
um valor finito.

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