A região do primeiro quadrante delimitada pelo gráfico da equação x=2 y^3-y^4 e pelo eixo- y gira em torno do eixo- x. Estabeleça o volume do sólido resultante, usando o método nos anéis cilíndricos.

Passo 1

O enunciado descreve a região R no primeiro quadrante limitada pela curva
x = 2y^3 - y^4
e pelo eixo- y, que gira em torno do eixo- x. O método dos anéis cilíndricos (ou cascas) nos diz que
V = 2pi integraly=a^y=b (raio)cdot(a<ura),dy

Passo 2

Para determinar os limites de integração em y, fazemos x=0:
2y^3 - y^4 = 0 Longrightarrow y^3(2-y)=0 Longrightarrow y=0 ou y=2
Como estamos no primeiro quadrante, y varia de 0 a 2.

Passo 3

Na rotação em torno do eixo- x, uma casca em altura y tem
– raio =y (distância ao eixo- x),
– altura =x(y)=2y^3 - y^4.
Logo
V = 2pi integral0^2 yl(2y^3 - y^4r),dy

Passo 4

Simplificamos o integrando:
y,(2y^3 - y^4) = 2y^4 - y^5,
portanto
V = 2pi integral0^2 (2y^4 - y^5),dy = 2pil[2!integral0^2y^4,dy ;-;integral0^2y^5,dyr]

Passo 5

Calculemos separadamente:
integral0^2y^4,dy = y^55|0^2 = 325, integral0^2y^5,dy = y^66|0^2 = 646

Passo 6

Substituindo em V:
V = 2pi!l[2cdot325 - 646r] = 2pi!l(645 - 646r) = 2picdot6430 = 128pi30 = 64pi15

Resposta

V = 64pi15

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