Seu a) Mostre que se a aplicação tiver rendimento uma única vez ao ano, então o capital C(t) após t anos será dado por C(t)=C0(1+alpha)^t.
b) Mostre que se a aplicação tiver k composições de rendimento a / k % por ano, então o capital após t anos será C(t)=C0(1+alphak)^k t

Passo 1

Neste exercício vamos analisar uma aplicação financeira de juros compostos e deduzir a fórmula do capital acumulado em dois cenários: rendimento anual único e rendimento composto k vezes ao ano. Para isso, vamos usar o conceito de progressão geométrica, já que a cada período de capitalização o capital é multiplicado por um fator fixo.

Passo 2

No caso (a), com rendimento apenas uma vez por ano à taxa alpha, o capital inicial C0 é multiplicado por 1+alpha a cada ano. Como são t anos, isso gera uma progressão geométrica de razão 1+alpha e t termos. Logo, ao fim de t anos temos:
C(t)=C0,(1+alpha)^t

Passo 3

No caso (b), a aplicação rende k vezes ao ano, cada vez à taxa alpha/k. Então cada período de capitalização multiplica o capital por 1+alphak. Em t anos há k,t períodos, gerando uma progressão geométrica de razão 1+alphak e k,t termos. Assim, o capital acumulado é
C(t)=C0l(1+alphakr)^k t

Resposta

a) C(t)=C0(1+alpha)^t b) C(t)=C0l(1+alphakr)^k t

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