Encontre o fluxo do campo F ao longo da porção da superfície dada no sentido especificado.
(a) F(x, y, z)=(-1,2,3) ; S é a superfície retangular z=0,0 <= x <= 2,0 <= y <= 3, sentido k.
(b) F(x, y, z)=(y x^2,-2, x z) ; S é a superfície retangular y=0,-1 <= x <= 2,2 <= z <= 7, sentido -j.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo de dois campos vetoriais através de porções retangulares de superfícies planas, com orientações dadas. O conteúdo principal aqui é integrar um campo vetorial numa superfície, ou seja, fazer uma integral de superfície do tipo fluxo.

Passo 2

O fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície S orientada por n é dado por
integral duplaS F cdot n , dS
Na prática, parametrizamos S por r(u,v) sobre um domínio D no plano (u,v), calculamos
ru times rv
que já incorpora n,dS, e fazemos
integral duplaD F(r(u,v)) cdot (ru times rv) ,du,dv

Passo 3

Para (a), a superfície é o retângulo em z=0 com 0<= x<=2, 0<= y<=3 e orientação +k. Usamos a parametrização
r(x,y)=(x,y,0), (x,y)in[0,2]times[0,3]
Calculamos
rx=(1,0,0), ry=(0,1,0)Longrightarrow rxtimesry=(0,0,1)=k
O campo é constante: F(x,y,0)=(-1,2,3). Logo
Fcdotk=3,
e a área do retângulo é 2times3=6. Assim o fluxo é
3times6=18

Passo 4

Para (b), a superfície é o retângulo em y=0 com -1<= x<=2, 2<= z<=7 e orientação -j. Parametrizamos por
r(x,z)=(x,0,z), (x,z)in[-1,2]times[2,7]
Temos
rx=(1,0,0), rz=(0,0,1),
rxtimesrz=(0,-1,0)=-j,
o que bate com a orientação dada. No plano y=0 o campo vira F=(0,-2,xz). Então
Fcdot(-j)=;(0,-2,xz)cdot(0,-1,0)=2
O retângulo tem dimensões 3 em x (de -1 a 2) e 5 em z (de 2 a 7), área 3times5=15. Portanto o fluxo é
2times15=30

Resposta

(a) 18; (b) 30

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