Encontre o fluxo do campo
ao longo da porção da superfície dada no sentido especificado.
(a)
é a superfície retangular
, sentido
.
(b)
é a superfície retangular
, sentido
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o fluxo de dois campos vetoriais através de porções retangulares de superfícies planas, com orientações dadas. O conteúdo principal aqui é integrar um campo vetorial numa superfície, ou seja, fazer uma integral de superfície do tipo fluxo.
Passo 2
O fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície
orientada por
é dado por
Na prática, parametrizamos
por
sobre um domínio
no plano
, calculamos
que já incorpora
, e fazemos
Passo 3
Para (a), a superfície é o retângulo em
com
,
e orientação
. Usamos a parametrização
Calculamos
O campo é constante:
. Logo
e a área do retângulo é
. Assim o fluxo é
Passo 4
Para (b), a superfície é o retângulo em
com
,
e orientação
. Parametrizamos por
Temos
o que bate com a orientação dada. No plano
o campo vira
. Então
O retângulo tem dimensões
em
(de
a
) e
em
(de
a
), área
. Portanto o fluxo é
Resposta
(a) 18; (b) 30