Calcule a integral ointC F cdot d r, onde a curva C representa o bordo da superficie S.
(a) F=(y^2, z^2, x^2) ; S é a porção do plano x+y+z=1 no primeiro octante.
(b) F=(3 y,-x z, y z^2) ; S é a superfície do paraboloide 2 z=x^2+y^2 abaixo do plano z=2.
© F=(2 y, z, 3) ; S é a parte do paraboloide z=4-x^2-y^2 interior ao cilindro x^2+y^2=1.
(d) F=(z, x, y) ; S é o hemisfério z=raiz1-x^2-y^2.
(e) F=(x^2, y^2, x^2) ; S é a superfície do cone z^2=x^2+y^2, 0 <= z <= 1.

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A questão pede para calcularmos uma integral de linha do tipo ointC F cdot d r, onde C é o contorno da superfície S. Estamos trabalhando com Cálculo Vetorial, mais especificamente com integrais de linha e o Teorema de Stokes. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha a uma integral de superfície. No caso, vamos focar na parte (a) do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a integral de linha ointC F cdot d r. Ela representa o trabalho realizado pelo campo vetorial F ao longo da curva fechada C. Mas, para facilitar nossos cálculos, vamos usar o Teorema de Stokes, que transforma essa integral de linha em uma integral de superfície sobre S.

Passo 3

O Teorema de Stokes diz que:
ointC F cdot d r = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Aqui, nabla times F é o rotacional de F, e n é o vetor normal à superfície S. Então, nosso primeiro passo é calcular o rotacional de F.

Passo 4

Dada a função vetor F = (y^2, z^2, x^2), vamos calcular seu rotacional:
nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z y^2 & z^2 & x^2
Calculando o determinante:
nabla times F = ( partial x^2partial y - partial z^2partial z ) i - ( partial x^2partial x - partial y^2partial z ) j + ( partial z^2partial x - partial y^2partial y ) k
Simplificando:
nabla times F = (0 - 2z) i - (2x - 0) j + (0 - 2y) k = (-2z, -2x, -2y)

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma parametrização para a superfície S, que é a porção do plano x + y + z = 1 no primeiro octante. No primeiro octante, x, y, z >= 0. Podemos resolver a equação do plano para z:
z = 1 - x - y
Então, nossa superfície pode ser parametrizada por x e y, onde x >= 0, y >= 0, e x + y <= 1.

Passo 6

Precisamos determinar o vetor normal n. Para isso, calculamos os vetores tangentes à superfície:
rx = (1, 0, -1), ry = (0, 1, -1)
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
n = rx times ry = i & j & k 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1 = ( (0)(-1) - (-1)(1) ) i - ( (1)(-1) - (-1)(0) ) j + ( (1)(1) - (0)(0) ) k )
n = (1, 1, 1)
Como queremos a orientação positiva, estamos de acordo.

Passo 7

Agora, vamos expressar o rotacional de F em termos de x e y usando z = 1 - x - y:
nabla times F = (-2z, -2x, -2y) = (-2(1 - x - y), -2x, -2y) = (-2 + 2x + 2y, -2x, -2y)
O produto escalar (nabla times F) cdot n fica:
(-2 + 2x + 2y)(1) + (-2x)(1) + (-2y)(1) = -2 + 2x + 2y - 2x - 2y = -2

Passo 8

A integral de superfície fica então:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaD (-2) , dA
Onde D é a região no plano xy limitada por x >= 0, y >= 0, e x + y <= 1. A área dessa região é um triângulo com base 1 e altura 1, então a integral fica:
-2 times Área = -2 times 12 = -1 Á

Resposta

O valor da integral ointC F cdot d r é -1.

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