Beleza, então vamos lá! A questão pede para calcularmos uma integral de linha do tipo , onde é o contorno da superfície . Estamos trabalhando com Cálculo Vetorial, mais especificamente com integrais de linha e o Teorema de Stokes. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha a uma integral de superfície. No caso, vamos focar na parte (a) do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a integral de linha . Ela representa o trabalho realizado pelo campo vetorial ao longo da curva fechada . Mas, para facilitar nossos cálculos, vamos usar o Teorema de Stokes, que transforma essa integral de linha em uma integral de superfície sobre .
Passo 3
O Teorema de Stokes diz que:
Aqui, é o rotacional de , e é o vetor normal à superfície . Então, nosso primeiro passo é calcular o rotacional de .
Passo 4
Dada a função vetor , vamos calcular seu rotacional:
Calculando o determinante:
nabla times F = ( partial x^2partial y - partial z^2partial z ) i - ( partial x^2partial x - partial y^2partial z ) j + ( partial z^2partial x - partial y^2partial y ) k
Simplificando:
nabla times F = (0 - 2z) i - (2x - 0) j + (0 - 2y) k = (-2z, -2x, -2y)
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma parametrização para a superfície S, que é a porção do plano x + y + z = 1 no primeiro octante. No primeiro octante, x, y, z >= 0. Podemos resolver a equação do plano para z:
z = 1 - x - y
Então, nossa superfície pode ser parametrizada por x e y, onde x >= 0, y >= 0, e x + y <= 1.
Passo 6
Precisamos determinar o vetor normal n. Para isso, calculamos os vetores tangentes à superfície:
rx = (1, 0, -1), ry = (0, 1, -1)
O vetor normal é o produto vetorial desses vetores tangentes:
n = rx times ry = i & j & k 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1 = ( (0)(-1) - (-1)(1) ) i - ( (1)(-1) - (-1)(0) ) j + ( (1)(1) - (0)(0) ) k )
n = (1, 1, 1)
Como queremos a orientação positiva, estamos de acordo.
Passo 7
Agora, vamos expressar o rotacional de F em termos de x e y usando z = 1 - x - y:
nabla times F = (-2z, -2x, -2y) = (-2(1 - x - y), -2x, -2y) = (-2 + 2x + 2y, -2x, -2y)
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaD (-2) , dA
Onde D é a região no plano xy limitada por x >= 0, y >= 0, e x + y <= 1. A área dessa região é um triângulo com base 1 e altura 1, então a integral fica: