Mostre que, aplicando a fórmula da distância entre dois pontos, que o triângulo definido pelos pontos
e
é isósceles. Determine o seu perímetro.
Passo 1
Dados fornecidos (peguei diretamente do enunciado):
- Pontos do triângulo:
, e .
O que o enunciado pede:
- Mostrar que o triângulo formado por esses pontos é isósceles (ou verificar se é).
- Determinar o perímetro do triângulo.
Passo 2
Vamos relembrar a fórmula da distância entre dois pontos no plano e o que cada símbolo significa.
Fórmula da distância entre os pontos
e
:
Explicação das variáveis:
-
são as coordenadas do primeiro ponto; -
são as coordenadas do segundo ponto; - A expressão
é a diferença nas abscissas (horizontal); - A expressão
é a diferença nas ordenadas (vertical); - Elevamos ao quadrado para eliminar sinais e usamos a raiz quadrada para voltar à unidade de distância (teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado pelas diferenças).
Definição de triângulo isósceles:
- Um triângulo é isósceles se pelo menos dois de seus lados tiverem igual comprimento.
Passo 3
Calcular o comprimento do lado
aplicando a fórmula:
As coordenadas são e
. Então
As coordenadas são
Passo 4
Calcular o comprimento do lado
:
As coordenadas são e
. Então
As coordenadas são
Passo 5
Calcular o comprimento do lado
:
As coordenadas são e
. Então
As coordenadas são
Passo 6
Comparar os comprimentos encontrados para verificar se há pelo menos dois iguais:
Ao comparar os quadrados (mais simples para ver igualdade):
Como
,
e
são todos diferentes, nenhum par de lados é igual. Portanto o triângulo NÃO é isósceles (é escaleno).
Passo 7
Calcular o perímetro somando os comprimentos dos três lados:
Se quiser uma aproximação decimal (apenas para ter uma noção):
logo
Resposta
O triângulo não é isósceles.
Perímetro (aprox.
).
Perímetro