Mostre que, aplicando a fórmula da distância entre dois pontos, que o triângulo definido pelos pontos A(-3,1),(-1,-1) e (-2,-3) é isósceles. Determine o seu perímetro.

Passo 1

Dados fornecidos (peguei diretamente do enunciado):
  • Pontos do triângulo: A=(-3,1), B=(-1,-1) e C=(-2,-3).
O que o enunciado pede:
  • Mostrar que o triângulo formado por esses pontos é isósceles (ou verificar se é).
  • Determinar o perímetro do triângulo.

Passo 2

Vamos relembrar a fórmula da distância entre dois pontos no plano e o que cada símbolo significa.
Fórmula da distância entre os pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
Explicação das variáveis:
  • x_1,y_1 são as coordenadas do primeiro ponto;
  • x_2,y_2 são as coordenadas do segundo ponto;
  • A expressão (x_2-x_1) é a diferença nas abscissas (horizontal);
  • A expressão (y_2-y_1) é a diferença nas ordenadas (vertical);
  • Elevamos ao quadrado para eliminar sinais e usamos a raiz quadrada para voltar à unidade de distância (teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado pelas diferenças).
Definição de triângulo isósceles:
  • Um triângulo é isósceles se pelo menos dois de seus lados tiverem igual comprimento.

Passo 3

Calcular o comprimento do lado AB aplicando a fórmula:
As coordenadas são A=(-3,1) e B=(-1,-1). Então
\begin{aligned} AB &= \sqrt{\bigl((-1)-(-3)\bigr)^2+\bigl((-1)-1\bigr)^2} \\\ &= \sqrt{(2)^2+(-2)^2} \\\ &= \sqrt{4+4} \\\ &= \sqrt{8} \\\ &= 2\sqrt{2}. \end{aligned}

Passo 4

Calcular o comprimento do lado BC:
As coordenadas são B=(-1,-1) e C=(-2,-3). Então
\begin{aligned} BC &= \sqrt{\bigl((-2)-(-1)\bigr)^2+\bigl((-3)-(-1)\bigr)^2} \\\ &= \sqrt{(-1)^2+(-2)^2} \\\ &= \sqrt{1+4} \\\ &= \sqrt{5}. \end{aligned}

Passo 5

Calcular o comprimento do lado AC:
As coordenadas são A=(-3,1) e C=(-2,-3). Então
\begin{aligned} AC &= \sqrt{\bigl((-2)-(-3)\bigr)^2+\bigl((-3)-1\bigr)^2} \\\ &= \sqrt{(1)^2+(-4)^2} \\\ &= \sqrt{1+16} \\\ &= \sqrt{17}. \end{aligned}

Passo 6

Comparar os comprimentos encontrados para verificar se há pelo menos dois iguais:
AB = 2\sqrt{2} \quad(\text{que é }\sqrt{8}),\qquad BC=\sqrt{5},\qquad AC=\sqrt{17}.é
Ao comparar os quadrados (mais simples para ver igualdade):
AB^2=8,\qquad BC^2=5,\qquad AC^2=17.
Como 8, 5 e 17 são todos diferentes, nenhum par de lados é igual. Portanto o triângulo NÃO é isósceles (é escaleno).

Passo 7

Calcular o perímetro somando os comprimentos dos três lados:
\begin{aligned} \text{Perímetro} &= AB+BC+AC \\\ &= 2\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{17}. \end{aligned}í
Se quiser uma aproximação decimal (apenas para ter uma noção):
2\sqrt{2}\approx 2{,}828,\quad \sqrt{5}\approx 2{,}236,\quad \sqrt{17}\approx 4{,}123,
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\text{Perímetro}\approx 2{,}828+2{,}236+4{,}123\approx 9{,}187.í

Resposta

O triângulo não é isósceles.
Perímetro =2\sqrt{2}+\sqrt{5}+\sqrt{17} (aprox. 9{,}187).

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