Q17: Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear A \vec{x}=\vec{b}, representado abaixo por sua matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|r} -1 & -3 & 1 & 4 \\\\ -2 & -1 & 3 & 1 \\\\ 2 & 0 & 2 & 3 \\\\ 2 & 4 & -5 & -13 \end{array}\right]
Assinale o valor de x_{1}, a 1{ }^{\text {a }} entrada da solução \vec{x}.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear representado pela matriz aumentada
\left[\begin{array}{rrr|r} -1 & -3 & 1 & 4 \\\\ -2 & -1 & 3 & 1 \\\\ 2 & 0 & 2 & 3 \\\\ 2 & 4 & -5 & -13 \end{array}\right]
Isto nos fornece a matriz A de coeficientes e o vetor \vec{b}:
A=\begin{pmatrix} -1 & -3 & 1\\[4pt] -2 & -1 & 3\\[4pt] 2 & 0 & 2\\[4pt] 2 & 4 & -5 \end{pmatrix},\qquad \vec{b}=\begin{pmatrix}4\\[4pt]1\\[4pt]3\\[4pt]-13\end{pmatrix}.
O que o enunciado pede: encontrar a solução no sentido dos mínimos quadrados do sistema A\vec{x}=\vec{b} e informar o valor da primeira componente \,x_{1}\, dessa solução. As alternativas possíveis são listadas de (A) a (H).]

Passo 2

O que significa “solução no sentido dos mínimos quadrados”?
Queremos o vetor \vec{x} que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos, isto é, que minimiza a função
f(\vec{x})=\|A\vec{x}-\vec{b}\|^{2}=(A\vec{x}-\vec{b})^{T}(A\vec{x}-\vec{b}).
Uma forma padrão de obter essa solução é resolver as equações normais, obtidas anulando o gradiente de f. O cálculo (sem pular passos importantes) dá:
\nabla f(\vec{x}) = 2A^{T}(A\vec{x}-\vec{b})=0 \quad\Longrightarrow\quad A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}.
Assim, basta formar A^{T}A e A^{T}\vec{b} e resolver o sistema linear A^{T}A\vec{x}=A^{T}\vec{b}. Vou calcular isso passo a passo.

Passo 3

Para facilitar, escrevo as colunas de A:
\text{col}_1=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-2\\[4pt]2\\[4pt]2\end{pmatrix},\qquad \text{col}_2=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]-1\\[4pt]0\\[4pt]4\end{pmatrix},\qquad \text{col}_3=\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]2\\[4pt]-5\end{pmatrix}.
Agora calculo as entradas de A^{T}A usando produto interno de colunas: (A^{T}A)_{ij}=\text{col}_i^{T}\text{col}_j=\sum_{k=1}^{4} A_{k,i}A_{k,j}.
Cálculos (cada soma aparece explicitamente):
\begin{aligned} (A^{T}A)_{11} &=(-1)^{2}+(-2)^{2}+2^{2}+2^{2}=1+4+4+4=13,\\[4pt] (A^{T}A)_{12} &=(-1)(-3)+(-2)(-1)+2\cdot0+2\cdot4=3+2+0+8=13,\\[4pt] (A^{T}A)_{13} &=(-1)(1)+(-2)(3)+2\cdot2+2(-5)=-1-6+4-10=-13,\\[4pt] (A^{T}A)_{22} &=(-3)^{2}+(-1)^{2}+0^{2}+4^{2}=9+1+0+16=26,\\[4pt] (A^{T}A)_{23} &=(-3)(1)+(-1)(3)+0\cdot2+4(-5)=-3-3+0-20=-26,\\[4pt] (A^{T}A)_{33} &=1^{2}+3^{2}+2^{2}+(-5)^{2}=1+9+4+25=39. \end{aligned}]

Passo 4

Montando a matriz simétrica A^{T}A com os resultados acima:
A^{T}A=\begin{pmatrix} 13 & 13 & -13\\[4pt] 13 & 26 & -26\\[4pt] -13 & -26 & 39 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora calculo A^{T}\vec{b}. A entrada i é \sum_{k=1}^{4} A_{k,i}b_{k}.
Cálculos:
\begin{aligned} (A^{T}\vec{b})_{1} &=(-1)\cdot4+(-2)\cdot1+2\cdot3+2\cdot(-13)=-4-2+6-26=-26,\\[4pt] (A^{T}\vec{b})_{2} &=(-3)\cdot4+(-1)\cdot1+0\cdot3+4\cdot(-13)=-12-1+0-52=-65,\\[4pt] (A^{T}\vec{b})_{3} &=1\cdot4+3\cdot1+2\cdot3+(-5)\cdot(-13)=4+3+6+65=78. \end{aligned}
Portanto
A^{T}\vec{b}=\begin{pmatrix}-26\\[4pt]-65\\[4pt]78\end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora resolvo o sistema linear
\begin{pmatrix} 13 & 13 & -13\\[4pt] 13 & 26 & -26\\[4pt] -13 & -26 & 39 \end{pmatrix}\vec{x}= \begin{pmatrix}-26\\[4pt]-65\\[4pt]78\end{pmatrix}.
Faço eliminação por linhas (mostrando cada operação):
Escrevo a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{rrr|r} 13 & 13 & -13 & -26\\[4pt] 13 & 26 & -26 & -65\\[4pt] -13 & -26 & 39 & 78 \end{array}\right].
Faço R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1} e R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{1}:
\left[\begin{array}{rrr|r} 13 & 13 & -13 & -26\\[4pt] 0 & 13 & -13 & -39\\[4pt] 0 & -13 & 26 & 52 \end{array}\right].
Agora faço R_{3}\leftarrow R_{3}+R_{2}:
\left[\begin{array}{rrr|r} 13 & 13 & -13 & -26\\[4pt] 0 & 13 & -13 & -39\\[4pt] 0 & 0 & 13 & 13 \end{array}\right].
Da última linha obtemos 13x_{3}=13, então
x_{3}=1.
Da segunda linha: 13x_{2}-13x_{3}=-39 implica
13x_{2}-13\cdot1=-39 \quad\Longrightarrow\quad 13x_{2}=-26 \quad\Longrightarrow\quad x_{2}=-2.
Da primeira linha: 13x_{1}+13x_{2}-13x_{3}=-26 implica
13x_{1}+13(-2)-13(1)=-26 \quad\Longrightarrow\quad 13x_{1}-39=-26 \quad\Longrightarrow\quad 13x_{1}=13,
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x_{1}=1.
Assim a solução dos mínimos quadrados é \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\\[4pt]1\end{pmatrix}.]

Resposta

(E) 1

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