Q17: Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear
, representado abaixo por sua matriz aumentada:
Assinale o valor de
, a
entrada da solução
.
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
(A) -4
(B) -3
(C) -2
(D) -1
(E) 1
(F) 2
(G) 3
(H) 4
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear representado pela matriz aumentada
Isto nos fornece a matriz
de coeficientes e o vetor
:
O que o enunciado pede: encontrar a solução no sentido dos mínimos quadrados do sistema
e informar o valor da primeira componente
dessa solução. As alternativas possíveis são listadas de
a
.]
Passo 2
O que significa “solução no sentido dos mínimos quadrados”?
Queremos o vetor que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos, isto é, que minimiza a função
Queremos o vetor
Uma forma padrão de obter essa solução é resolver as equações normais, obtidas anulando o gradiente de
. O cálculo (sem pular passos importantes) dá:
Assim, basta formar
e
e resolver o sistema linear
. Vou calcular isso passo a passo.
Passo 3
Para facilitar, escrevo as colunas de
:
Agora calculo as entradas de
usando produto interno de colunas:
.
Cálculos (cada soma aparece explicitamente):
Passo 4
Montando a matriz simétrica
com os resultados acima:
Passo 5
Agora calculo
. A entrada
é
.
Cálculos:
Portanto
Passo 6
Agora resolvo o sistema linear
Faço eliminação por linhas (mostrando cada operação):
Escrevo a matriz aumentada inicial:
Faço
e
:
Agora faço
:
Da última linha obtemos
, então
Da segunda linha:
implica
Da primeira linha:
implica
logo
Assim a solução dos mínimos quadrados é
.]
Resposta
(E)