Mostre que a área de um triângulo com lados de comprimentos a e b e com o ângulo entre eles sendo \theta é
A=\frac{1}{2} a b \operatorname{sen} \theta

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a área de um triângulo com lados de comprimentos a e b e com o ângulo entre eles igual a \theta é
A = \frac{1}{2}\,a\,b\,\operatorname{sen}\theta.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula básica da área de um triângulo em termos de base e altura.

Passo 2

A fórmula geral da área de um triângulo é
A = \frac{1}{2}\times(\text{base})\times(\text{altura}).

Passo 3

Escolhemos o lado de comprimento b como base. A altura correspondente é a distância do vértice oposto à reta que contém b. Se desenharmos a altura, formamos um triângulo retângulo cujo cateto sobre a base b mede justamente
\text{altura} = a\,\operatorname{sen}\theta,
porque o lado a faz ângulo \theta com a base e, nesse triângulo retângulo, o cateto oposto a \theta vale a\sin\theta.

Passo 4

Substituindo na fórmula da área:
A = \frac{1}{2}\times b \times \bigl(a\,\operatorname{sen}\theta\bigr) = \frac{1}{2}\,a\,b\,\operatorname{sen}\theta.

Resposta

A = \frac{1}{2}\,a\,b\,\operatorname{sen}\theta.

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