Calcule os limites abaixo:
\lim _{(x, y) \rightarrow(-1,1)} \frac{x^{2}-y^{2}}{x+y}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y)\to(-1,1)}\frac{x^2 - y^2}{x + y}.
Ao substituir diretamente (x,y)=(-1,1) obtemos
\frac{(-1)^2 - (1)^2}{-1 + 1} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0},
forma indeterminada. Para resolver, vamos usar fatoração da diferença de quadrados e depois argumento de continuidade.

Passo 2

Fatorando a diferença de quadrados, escrevemos
x^2 - y^2 = (x - y)(x + y).
Para pontos com x + y \neq 0, a expressão simplifica-se a
\frac{x^2 - y^2}{x + y} = x - y.

Passo 3

A função g(x,y) = x - y é contínua em todo \mathbb{R}^2. Assim, ao aproximar (x,y) de (-1,1) (exceto pela reta x+y=0 onde a expressão original não está definida), o limite coincide com
\lim_{(x,y)\to(-1,1)}(x - y) = (-1) - 1 = -2.

Resposta

-2

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