Mostre que, para os átomos de massa m emergentes na forma de um feixe através de uma pequena abertura na parede de um forno à temperatura T, a velocidade mais provável é
vp=raiz3 k T / m

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num feixe de átomos de massa m que sai por uma pequena abertura de um forno à temperatura T, a velocidade mais provável é
vp = raiz3kTm
O conteúdo envolve a distribuição de velocidades de Maxwell–Boltzmann e o fato de que, num feixe de efusão, as velocidades são ponderadas pela taxa de passagem (fluxo) que é proporcional a v.

Passo 2

Começamos lembrando a distribuição de velocidades na fase gasosa em equilíbrio térmico (Maxwell–Boltzmann). A densidade de probabilidade de encontrar um átomo com velocidade entre v e v+dv é
f(v),dv =4pil(m2pi kTr)^3/2v^2exp!l(-mv^22kTr),dv

Passo 3

Para átomos que emergem por uma pequena abertura (efusão), não basta usar f(v). Precisamos ponderar pela frequência com que moléculas com velocidade v atingem e atravessam a parede: esse fluxo é proporcional a v. Logo a distribuição de velocidades no feixe é
F(v)propto v,f(v) propto vcdot v^2exp!l(-mv^22kTr) = v^3exp!l(-mv^22kTr)

Passo 4

Para encontrar a velocidade mais provável vp, basta achar o máximo de F(v). Como constantes multiplicativas não afetam o máximo, consideramos
G(v)=v^3exp!l(-mv^22kTr)
Definimos ln G(v)=3ln v - mv^22kT e impomos
ddvln G(v) =3v-m,vkT=0

Passo 5

Resolvendo para v, temos
3v=m,vkT Longrightarrow v^2=3kTm Longrightarrow v=raiz3kTm
Este valor é o que maximiza G(v), logo é a velocidade mais provável no feixe.

Resposta

vp=raiz3kTm

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