O vetor dual a_{i} do tensor de segunda ordem antissimétrico B_{i j} é definido por a_{i}=\varepsilon_{i j k} B_{j k}. Mostre que esta expressão pode ser invertida para obter: B_{i j}=1 / 2 \varepsilon_{i j k} a_{k}.

Passo 1

O enunciado define o vetor dual a_{i} a partir do tensor antissimétrico B_{ij} por
a_{i} = \varepsilon_{i j k}\,B_{j k},
onde \varepsilon_{ijk} é o Levi–Civita e B_{jk}=-B_{kj}. A tarefa é inverter essa relação para expressar B_{ij} em função de a_{k}.

Passo 2

Para inverter, primeiro renomeamos o índice de a para evitar confusão e escrevemos
a_{k} = \varepsilon_{k\,l\,m}\,B_{l\,m}.
Agora multiplicamos ambos os lados por \varepsilon_{i\,j\,k} e somamos em k, obtendo
\varepsilon_{i\,j\,k}\,a_{k} = \varepsilon_{i\,j\,k}\,\varepsilon_{k\,l\,m}\,B_{l\,m}.

Passo 3

Usamos a identidade de contração de dois Levi–Civita em três dimensões:
\varepsilon_{i\,j\,k}\,\varepsilon_{k\,l\,m} = \delta_{i\,l}\,\delta_{j\,m} - \delta_{i\,m}\,\delta_{j\,l}.
Substituindo na expressão anterior, o lado direito vira
(\delta_{i\,l}\,\delta_{j\,m}-\delta_{i\,m}\,\delta_{j\,l})\,B_{l\,m} = B_{i\,j} - B_{j\,i}.
Como B_{j\,i}=-B_{i\,j} (antisimetria), temos
B_{i\,j}-B_{j\,i} = B_{i\,j}-(-B_{i\,j}) = 2\,B_{i\,j}.

Passo 4

Portanto a contração no lado esquerdo satisfaz
\varepsilon_{i\,j\,k}\,a_{k} = 2\,B_{i\,j}.
Basta isolar B_{i\,j} para obter a fórmula invertida:
B_{i\,j} = \tfrac{1}{2}\,\varepsilon_{i\,j\,k}\,a_{k}.

Resposta

B_{i j} = \tfrac{1}{2}\,\varepsilon_{i j k}\,a_{k}.

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