Mostre que autovetores que correspondem a autovalores diferentes de um operador Hermitiano são ortogonais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, se
é um operador Hermitiano em um espaço vetorial com produto interno
, então quaisquer dois autovetores de
associados a autovalores distintos são ortogonais. O conteúdo é Álgebra Linear (produtos internos e operadores Hermitianos) e vamos usar as propriedades do adjunto/Hermitiano e das equações próprias.
Passo 2
Definimos primeiro operador Hermitiano e autovetores. Dizemos que
é Hermitiano se o adjunto
satisfaz
ou seja, para quaisquer vetores
vale
Além disso,
é autovetor de
com autovalor
se
Passo 3
Sejam agora
e
dois autovetores de
com autovalores distintos
e
, respectivamente:
com
.
Passo 4
Usando a Hermiticidade temos
Substituindo
e
obtemos
Passo 5
Pela linearidade no primeiro argumento e conjugação no segundo (no caso complexo) isso vira
Como
, necessariamente
ou seja,
e
são ortogonais.
Resposta
Os autovetores correspondentes a autovalores diferentes de um operador Hermitiano são ortogonais, pois
.