Mostre que autovetores que correspondem a autovalores diferentes de um operador Hermitiano são ortogonais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, se A é um operador Hermitiano em um espaço vetorial com produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle, então quaisquer dois autovetores de A associados a autovalores distintos são ortogonais. O conteúdo é Álgebra Linear (produtos internos e operadores Hermitianos) e vamos usar as propriedades do adjunto/Hermitiano e das equações próprias.

Passo 2

Definimos primeiro operador Hermitiano e autovetores. Dizemos que A é Hermitiano se o adjunto A^\dagger satisfaz
A^\dagger = A,
ou seja, para quaisquer vetores u,w vale
\langle u,\,A w\rangle=\langle A u,\,w\rangle.
Além disso, v é autovetor de A com autovalor \lambda se
A v = \lambda\,v.

Passo 3

Sejam agora v e w dois autovetores de A com autovalores distintos \lambda e \mu, respectivamente:
A v = \lambda\,v, \qquad A w = \mu\,w,
com \lambda\neq\mu.

Passo 4

Usando a Hermiticidade temos
\langle A v,\,w\rangle = \langle v,\,A w\rangle.
Substituindo A v=\lambda v e A w=\mu w obtemos
\langle \lambda\,v,\,w\rangle = \langle v,\,\mu\,w\rangle.

Passo 5

Pela linearidade no primeiro argumento e conjugação no segundo (no caso complexo) isso vira
\lambda\,\langle v,\,w\rangle = \mu\,\langle v,\,w\rangle \quad\Longrightarrow\quad (\lambda-\mu)\,\langle v,\,w\rangle = 0.
Como \lambda\neq\mu, necessariamente
\langle v,\,w\rangle = 0,
ou seja, v e w são ortogonais.

Resposta

Os autovetores correspondentes a autovalores diferentes de um operador Hermitiano são ortogonais, pois \langle v,w\rangle=0.

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