Considere uma partícula submetida a um potencial independente do tempo
.
Suponha que um estado da partícula é descrito por uma função de onda da forma
. Mostre que
(sendo A uma constante) e que
deve satisfazer a equação:
onde
é a massa da partícula.
Suponha que um estado da partícula é descrito por uma função de onda da forma
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula de massa
num potencial
que não depende de
. Queremos resolver
supondo uma solução separável da forma
. Vamos usar separação de variáveis para encontrar
e a equação que
deve satisfazer.
Passo 2
Substituímos
na equação de Schrödinger:
Como
não depende de
, podemos distribuir o operador espacial apenas sobre
:
Passo 3
Dividimos ambos os lados por
, obtendo uma parte só em
igual a uma parte só em
:
Como o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
, ambos devem ser iguais a uma constante de separação. Chamamos essa constante de
.
Passo 4
Da parte temporal temos
Essa equação diferencial simples tem solução
onde
é uma constante de normalização.
Passo 5
Da parte espacial ficamos com
que é justamente a equação independente do tempo (eigenvalor de energia
).