Considere uma partícula submetida a um potencial independente do tempo V(\mathbf{r}).
Suponha que um estado da partícula é descrito por uma função de onda da forma \psi(\mathbf{r}, t)=\varphi(\mathbf{r}) \chi(t). Mostre que \chi(t)=A e^{-i \omega t} (sendo A uma constante) e que \varphi(\mathbf{r}) deve satisfazer a equação:
-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \nabla^{2} \varphi(\mathbf{r})+V(\mathbf{r}) \varphi(\mathbf{r})=\hbar \omega \varphi(\mathbf{r})
onde m é a massa da partícula.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Schrödinger dependente do tempo para uma partícula de massa m num potencial V(\mathbf{r}) que não depende de t. Queremos resolver
i\hbar\frac{\partial \psi(\mathbf{r},t)}{\partial t} = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\mathbf{r})\right)\psi(\mathbf{r},t)
supondo uma solução separável da forma \psi(\mathbf{r},t)=\varphi(\mathbf{r})\,\chi(t). Vamos usar separação de variáveis para encontrar \chi(t) e a equação que \varphi(\mathbf{r}) deve satisfazer.

Passo 2

Substituímos \psi(\mathbf{r},t)=\varphi(\mathbf{r})\,\chi(t) na equação de Schrödinger:
i\hbar\,\varphi(\mathbf{r})\,\frac{d\chi(t)}{dt} = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\mathbf{r})\right)\bigl[\varphi(\mathbf{r})\,\chi(t)\bigr].
Como V não depende de t, podemos distribuir o operador espacial apenas sobre \varphi(\mathbf{r}):
i\hbar\,\varphi(\mathbf{r})\,\frac{d\chi}{dt} = \chi(t)\,\Bigl[-\tfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\varphi(\mathbf{r})+V(\mathbf{r})\varphi(\mathbf{r})\Bigr].

Passo 3

Dividimos ambos os lados por \varphi(\mathbf{r})\,\chi(t), obtendo uma parte só em t igual a uma parte só em \mathbf{r}:
i\hbar\,\frac{1}{\chi(t)}\frac{d\chi(t)}{dt} = \frac{-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\varphi(\mathbf{r})+V(\mathbf{r})\varphi(\mathbf{r})}{\varphi(\mathbf{r})}.
Como o lado esquerdo depende só de t e o direito só de \mathbf{r}, ambos devem ser iguais a uma constante de separação. Chamamos essa constante de \hbar\omega.

Passo 4

Da parte temporal temos
i\hbar\,\frac{1}{\chi(t)}\frac{d\chi(t)}{dt}=\hbar\omega \quad\Longrightarrow\quad \frac{d\chi(t)}{dt} =-\,i\omega\,\chi(t).
Essa equação diferencial simples tem solução
\chi(t)=A\,e^{-i\omega t},
onde A é uma constante de normalização.

Passo 5

Da parte espacial ficamos com
-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\varphi(\mathbf{r})+V(\mathbf{r})\varphi(\mathbf{r}) =\hbar\omega\,\varphi(\mathbf{r}),
que é justamente a equação independente do tempo (eigenvalor de energia \hbar\omega).

Resposta

\displaystyle \chi(t)=A\,e^{-i\omega t} \displaystyle -\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}\varphi(\mathbf{r})+V(\mathbf{r})\varphi(\mathbf{r})=\hbar\omega\,\varphi(\mathbf{r})

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