Considere uma partícula descrita por uma função de onda \psi(\mathbf{r}, t).
Calcule a derivada temporal \frac{\partial \rho(\mathbf{r}, t)}{\partial t}, onde \rho(\mathbf{r}, t) é a densidade de probabilidade, e mostre que a equação da continuidade
\frac{\partial \rho(\mathbf{r}, t)}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{J}(\mathbf{r}, t)=0
é válida, onde \mathbf{J}(\mathbf{r}, t) é a corrente de probabilidade, igual a
\mathbf{J}(\mathbf{r}, t)=\frac{1}{m} \operatorname{Re}\left[\psi^{*}\left(\frac{\hbar}{i} \nabla \psi\right)\right] .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma partícula quântica de função de onda \psi(\mathbf{r},t), a densidade de probabilidade \rho(\mathbf{r},t)=\psi^*(\mathbf{r},t)\,\psi(\mathbf{r},t)
satisfaz a equação da continuidade
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{J} = 0,
onde a corrente de probabilidade é
\mathbf{J}(\mathbf{r},t)=\frac{1}{m}\operatorname{Re}\Bigl[\psi^*(\mathbf{r},t)\,\frac{\hbar}{i}\nabla\psi(\mathbf{r},t)\Bigr].
Vamos usar a equação de Schrödinger dependente do tempo e sua conjugada.

Passo 2

Escrevendo a densidade como \rho=\psi^*\psi, sua derivada temporal é
\frac{\partial \rho}{\partial t} = \psi^*\,\frac{\partial \psi}{\partial t} + \frac{\partial \psi^*}{\partial t}\,\psi.

Passo 3

Da equação de Schrödinger
i\hbar\,\frac{\partial \psi}{\partial t} =-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V\psi
e de sua conjugada
-\,i\hbar\,\frac{\partial \psi^*}{\partial t} =-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi^*+V\psi^*,
seguem
\psi^*\,\frac{\partial \psi}{\partial t} =\frac{1}{i\hbar}\psi^* \Bigl(-\tfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi+V\psi\Bigr), \quad \frac{\partial \psi^*}{\partial t}\,\psi =-\frac{1}{i\hbar}\psi \Bigl(-\tfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi^*+V\psi^*\Bigr).
Ao somar, os termos com V se cancelam e obtém-se
\frac{\partial \rho}{\partial t} =-\frac{\hbar}{2m\,i} \Bigl(\psi^*\nabla^2\psi-\psi\,\nabla^2\psi^*\Bigr).

Passo 4

Usando a identidade vetorial
\psi^*\nabla^2\psi-\psi\,\nabla^2\psi^* =\nabla\cdot\bigl(\psi^*\nabla\psi-\psi\,\nabla\psi^*\bigr),
segue
\frac{\partial \rho}{\partial t} =-\nabla\cdot\!\Bigl[ \frac{\hbar}{2m\,i}\bigl(\psi^*\nabla\psi-\psi\,\nabla\psi^*\bigr) \Bigr].

Passo 5

Reconhecendo a corrente
\mathbf{J} =\frac{\hbar}{2m\,i}\bigl(\psi^*\nabla\psi-\psi\,\nabla\psi^*\bigr) =\frac{1}{m}\operatorname{Re}\!\Bigl[\psi^*\,\frac{\hbar}{i}\nabla\psi\Bigr],
chegamos à equação da continuidade
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf{J}=0.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf{J}=0 com \mathbf{J}=\frac{1}{m}\operatorname{Re}\bigl[\psi^*(\hbar/i)\nabla\psi\bigr].

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