Sejam A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 3\end{array}\right] e C=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\\\ 5 & 2\end{array}\right]. As matrizes A, B e C geram o espaço \mathbb{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) ? O conjunto \{A, B, C\} é uma base de \mathbb{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) ?

Passo 1

O enunciado dá três matrizes em \mathbb{M}_{2\times2}(\mathbb{R}):
A = \begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 3\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 5 & 2\end{pmatrix}
e pergunta (a) se elas geram todo o espaço \mathbb{M}_{2\times2}(\mathbb{R}) e (b) se formam uma base. Sabemos que \dim \mathbb{M}_{2\times2}(\mathbb{R}) = 4. Para responder precisamos verificar o tamanho de qualquer conjunto gerador (pelo menos 4 vetores) e a independência linear de A,B,C.

Passo 2

Para gerar \mathbb{M}_{2\times2}(\mathbb{R}) seria preciso pelo menos 4 matrizes independentes, pois a dimensão é 4. Como temos apenas 3 matrizes, mesmo que sejam independentes, o espaço por elas gerado tem dimensão no máximo 3. Logo elas não podem gerar todo o espaço de dimensão 4.

Passo 3

Vamos checar independência linear de A,B,C. Considere
\alpha A + \beta B + \gamma C = 0_{2\times2}.
Isso dá o sistema de entradas:
(1,1)!: \;\alpha + \beta =0,
(1,2)!: \;\alpha =0,
(2,1)!: \;\alpha +5\gamma =0,
(2,2)!: \;\alpha +3\beta +2\gamma =0.
Da equação \alpha=0 tirada de (1,2), segue \beta=0 de (1,1) e \gamma=0 de (2,1). Portanto só há solução trivial, implicando que A,B,C são linearmente independentes.

Passo 4

Como A,B,C são independentes, o subespaço que geram tem dimensão 3, mas \mathbb{M}_{2\times2}(\mathbb{R}) tem dimensão 4. Logo:
• Elas não geram \mathbb{M}_{2\times2}(\mathbb{R}).
• Portanto, não formam uma base desse espaço (falta um vetor para completar dimensão).

Resposta

As matrizes A,B,C não geram \mathbb{M}_{2\times2}(\mathbb{R}) e o conjunto \{A,B,C\} não é base de \mathbb{M}_{2\times2}(\mathbb{R}).

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