Mostre que se
, e
são inteiros positivos, então
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer inteiros positivos
,
e
, vale
O conteúdo que vamos usar é a definição de máximo divisor comum e a propriedade de que, se
, então
para qualquer inteiro
.
Passo 2
Seja
. Pela definição de gcd existe uma decomposição
onde
e
são inteiros tais que
.
Passo 3
Multiplicando as iguais por
, obtemos
Logo
Passo 4
Como
é divisor comum de
e
, podemos usar a propriedade de gcd que diz
Aplicando com
e
, vem
Passo 5
Mas
, e novamente pelo mesmo argumento de fator comum
temos
Portanto