Mostre que se a, b, e c são inteiros positivos, então m d c(a c, b c)=c \cdot m d c(a, b)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer inteiros positivos a, b e c, vale
\gcd(a\,c,\;b\,c)\;=\;c\;\cdot\;\gcd(a,b).
O conteúdo que vamos usar é a definição de máximo divisor comum e a propriedade de que, se \gcd(a,b)=1, então \gcd(k\,a,k\,b)=k para qualquer inteiro k>0.

Passo 2

Seja g=\gcd(a,b). Pela definição de gcd existe uma decomposição
a = g\,a', \quad b = g\,b',
onde a' e b' são inteiros tais que \gcd(a',b')=1.

Passo 3

Multiplicando as iguais por c, obtemos
a\,c = g\,(a'\,c), \quad b\,c = g\,(b'\,c).
Logo
\gcd(a\,c,\;b\,c) = \gcd\bigl(g\,(a'\,c),\;g\,(b'\,c)\bigr).

Passo 4

Como g é divisor comum de a\,c e b\,c, podemos usar a propriedade de gcd que diz
\gcd\bigl(g\,X,\;g\,Y\bigr) = g\;\gcd(X,Y).
Aplicando com X=a'\,c e Y=b'\,c, vem
\gcd(a\,c,\;b\,c) = g\;\gcd(a'\,c,\;b'\,c).

Passo 5

Mas \gcd(a',b')=1, e novamente pelo mesmo argumento de fator comum c temos
\gcd(a'\,c,\;b'\,c) = c\;\gcd(a',b') = c\cdot 1 = c.
Portanto
\gcd(a\,c,\;b\,c) = g \;\times\; c = c\;\times\;\gcd(a,b).

Resposta

\boxed{\gcd(a\,c,\;b\,c) \;=\; c\;\cdot\;\gcd(a,b).}

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